Anwendungen der Funktionalanalysis auf einige Fragen der reellen Funktionentheorie.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Anwendungen der Funktionalanalysis auf einige Fragen der reellen Funktionentheorie.
zbMATH Open document ID: 55.0823.01
published in: Studia Mathematica
publication date: 1929-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/216982
review text: Nach dem Vorgehen von \textit{Banach} (Bulletin Sc. math. (2) 50 (1926), 27-32, 36-43; F. d. M. 52) und \textit{Saks} (Fundamenta 10 (1927), 186-196; F. d. M. 53, 370 (JFM 53.0370.*)-371) werden gewisse Aufgaben der reellen Funktionentheorie (z. B. Existenzbeweis von stetigen, nicht differenzierbaren Funktionen) mit Hilfe der Funktionalanalysis gelöst. Das Verfahren ist folgendes: Das betreffende Problem legt eine gewisse Funktionaloperation nahe (im Beispiel: Bildung eines Differenzenquotienten, bzw. Grenze einer Schar von Differenzenquotienten). Die Operation müßte, wenn sie im ganzen Funktionenraum existierte, stetig sein. Nun erweist sie sich aber in einem Beispiel (dazu dient in dieser Arbeit immer eine Sinusfolge) als unstetig; also ist sie in gewissen Punkten des Funktionenraumes nicht ausführbar, womit die Existenz jener singulären (hier: nicht differenzierbaren) Funktionen konstatiert ist. -Diese Idee wird nun verfeinert und auf eine Reihe von Problemen angewendet. Der zugrunde gelegte abstrakte Raum B ist ein \textit{Banach}scher, in dem also die Addition und die Multiplikation mit einer reellen Zahl sowie eine Norm erklärt ist, sodaß sich der Konvergenzbegriff im \textit{Cauchy}schen Sinn definieren läßt; überdies soll eine konvergente Folge stets eine Grenze haben. Die ausgeübten Funktionaloperationen sollen jedem Element \(x\) dieses Raumes \(B\) ein Element \(y\) des Raumes der (auf einer Menge \(\varLambda\)) meßbaren Funktionen zuordnen; sie sollen additiv, homogen und stetig (kurz: linear) sein. Dabei ist die Konvergenz im \(y\)-Raum (\(y_q (\tau) \to y_0(\tau)\)) als ``asymptotische'' verstanden in dem Sinne, daß jeweils die Ungleichung \(|y_q(\tau) - y_0(\tau)| < \varepsilon\) nur nach Ausschluß einer \(\tau\)-Menge, deren Maß unter \(\varepsilon\) bleibt, verlangt wird. Gibt es nun eine Folge solcher Operationen \(F_n\), bei denen für alle \(x^*\) einer Teilmenge \(B^*\) von \(B\), die in \(B\) überall dicht ist, \(\lim\limits_{n\to \infty} F_n(x…
zbMATH DE Number: 2573194
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W822368831
DOI: 10.4064/SM-1-1-51-81
author: Hugo Steinhaus
description: scientific article; zbMATH DE number 2573194