Anwendungen der Funktionalanalysis auf einige Fragen der reellen Funktionentheorie.
Nach dem Vorgehen von \textit{Banach} (Bulletin Sc. math. (2) 50 (1926), 27-32, 36-43; F. d. M. 52) und \textit{Saks} (Fundamenta 10 (1927), 186-196; F. d. M. 53, 370 (JFM 53.0370.*)-371) werden gewisse Aufgaben der reellen Funktionentheorie (z. B. Existenzbeweis von stetigen, nicht differenzierbaren Funktionen) mit Hilfe der Funktionalanalysis gelöst. Das Verfahren ist folgendes: Das betreffende Problem legt eine gewisse Funktionaloperation nahe (im Beispiel: Bildung eines Differenzenquotienten, bzw. Grenze einer Schar von Differenzenquotienten). Die Operation müßte, wenn sie im ganzen Funktionenraum existierte, stetig sein. Nun erweist sie sich aber in einem Beispiel (dazu dient in dieser Arbeit immer eine Sinusfolge) als unstetig; also ist sie in gewissen Punkten des Funktionenraumes nicht ausführbar, womit die Existenz jener singulären (hier: nicht differenzierbaren) Funktionen konstatiert ist. -Diese Idee wird nun verfeinert und auf eine Reihe von Problemen angewendet. Der zugrunde gelegte abstrakte Raum B ist ein \textit{Banach}scher, in dem also die Addition und die Multiplikation mit einer reellen Zahl sowie eine Norm erklärt ist, sodaß sich der Konvergenzbegriff im \textit{Cauchy}schen Sinn definieren läßt; überdies soll eine konvergente Folge stets eine Grenze haben. Die ausgeübten Funktionaloperationen sollen jedem Element \(x\) dieses Raumes \(B\) ein Element \(y\) des Raumes der (auf einer Menge \(\varLambda\)) meßbaren Funktionen zuordnen; sie sollen additiv, homogen und stetig (kurz: linear) sein. Dabei ist die Konvergenz im \(y\)-Raum (\(y_q (\tau) \to y_0(\tau)\)) als ``asymptotische'' verstanden in dem Sinne, daß jeweils die Ungleichung \(|y_q(\tau) - y_0(\tau)| < \varepsilon\) nur nach Ausschluß einer \(\tau\)-Menge, deren Maß unter \(\varepsilon\) bleibt, verlangt wird. Gibt es nun eine Folge solcher Operationen \(F_n\), bei denen für alle \(x^*\) einer Teilmenge \(B^*\) von \(B\), die in \(B\) überall dicht ist, \(\lim\limits_{n\to \infty} F_n(x^*) = F_\infty(x^*)\) im gewöhnlichen Sinn fast überall im \(\tau\)-Definitionsbereich \(\varLambda\) der \(y_n = F_n(x)\) existiert, so gilt das Lemma von \textit{Saks}, das aussagt: \(\varLambda = \varLambda_1 + \varLambda_2\), \(B = B_1 + B_2\); für jedes \(x\) in \(B\) existiert im gewöhnlichen Sinn \(\lim F_n(x) = F_\infty (x)\) fast überall auf \(\varLambda_1\); und die so erklärte Operation \(F_\infty\) ist in ganz \(B\) stetig; für sämtliche \(x\) in \(B_2\) gilt \(\limsup |F_n(x)| = +\infty\) fast überall auf \(\varLambda_2\). \textit{Erste Anwendung: Nichtdifferenzierbare Funktionen mit vorgeschriebenem Stetigkeitsgrad.} Satz: Ist \(\varphi (\omega)\) nicht negativ und \(\lim\limits_{\omega\to 0} \dfrac{\varphi(|\omega|)}{|\omega|} = +\infty\), so gibt es durchweg stetige Funktionen, die der Bedingung \[ |f(\tau+\omega) - f(\tau)| \leqq \varphi(|\omega|) \tag{a} \] genügen und dennoch fast überall nichtdifferenzierbar sind. Beweis: \(B^*\) sei die Menge aller endlichen trigonometrischen Polynome. \(B^*\) wird dadurch zu \(B\) abgeschlossen, daß alle \(x\) hinzugefügt werden, die als \(\lim x_q^*\) darstellbar sind. Damit diese lim-Definition einen Sinn hat, muß eine Norm erklärt sein, und diese wird so gewählt, daß sie gerade auf die Funktionen paßt, die der Bedingung (a) genügen. -Als Folge von Funktionaloperationen wird \[ F_n(x) = \frac{x(\tau + \omega_n) - x(\tau)}{\omega_n} \] (\(\omega_n \to 0\)) gewählt. Für alle \(x^*\) existiert \(\lim F_n = F_\infty = \dfrac{d}{d\tau}\). Nach dem Lemma von \textit{Saks} existiert \(F_\infty = \dfrac{d}{d\tau}\) sogar in ganz \(B\), wenn man von dem Definitionsbereich \(\varLambda\) der \(y\) nur den Teil \(\varLambda_1\) betrachtet. Wie aber das Beispiel: \(x_q(\tau) = \dfrac{\sin\, q\tau}{q}\), \(\lim x_q = 0\); \(F_\infty (x_q)= \cos\, q\tau\), \(\lim F_\infty = 0\) (im asymptotischen Sinn) höchstens auf einer Nullmenge -- zeigt, kann \(\varLambda_1\) nur eine Nullmenge sein. Es gibt also eine nichtleere Teilmenge \(B_2\) von \(B\), für deren Elemente \(x(\tau)\) \[ \limsup_{n\to\infty} \left|\frac{x(\tau + \omega_n) - x(\tau)}{\omega_n}\right| = +\infty \] gilt, und zwar fast überall in \(\varLambda_2 = \varLambda - \varLambda_1\), d. h. fast überall in \(\varLambda\). \textit{Weitere Anwendungen:} Nach demselben Prinzip werden folgende Sätze bewiesen: Ist \(\omega(\tau)\) eine nichtnegative Funktion (\(0 \leqq \tau \leqq 1\)), für die das \textit{Lebesgue}sche Integral \(\int\limits_\varepsilon^1 \omega(\tau)\, d\tau\) endlich, falls \(0 < \varepsilon < 1\), aber \(\infty\) für \(\varepsilon = 0\) wird, so gibt es durchweg stetige Funktionen \(f(\xi)\) derart, daß \[ \int_0^1 |f(\xi + \tau) - f(\xi)| \omega(\tau)\, d\tau = +\infty \] für fast alle reellen \(\xi\) ausfällt. Analoges gilt für \[ \int_0^1 |f(\xi + \tau) - f(\xi - \tau)| \omega(\tau)\, d\tau . \] Ist \(\omega(\tau)\) meßbar und, abgesehen von der Nullumgebung, beschränkt, existiert ferner \(\lim\limits_{\varepsilon\to 0} \int\limits_\varepsilon^1 \tau \omega(\tau)\, d\tau\) und ist \[ \left|\int_\varepsilon^1 \omega(\tau) \sin \gamma \tau \, d\tau\right| \leqq \lambda \] für alle \(\gamma > 0\), \(0 < \varepsilon < 1\), so stellt bei einer beliebigen, mit ihrem Quadrat integrierbaren Funktion \(x(\tau)\) der Ausdruck \[ y(\xi) = \int_0^1 [x(\xi + \tau) - x(\xi - \tau)] \omega(\tau)\, d\tau \qquad (0 \leqq \xi \leqq 1) \] eine ebensolche Funktion dar, für die \[ \sqrt{\int_0^1 y^2(\xi)\, d\xi} \leqq 2\lambda \sqrt{\int_0^1 x^2(\tau)\, d\tau} \] gilt. \ \ (IV 3 C.)
scientific article; zbMATH DE number 2573194