Cenni riassuntivi sulla teoria dei funzionali analitici.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Cenni riassuntivi sulla teoria dei funzionali analitici.
zbMATH Open document ID: 55.0828.05
published in: Studia Mathematica
publication date: 1929-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/216986
review text: Überblick über die früheren Resultate des Verf. Unter analytischen Funktionalen wird eine ganz spezielle Sorte verstanden, die folgendermaßen definiert ist: Den analytischen Funktionen \(y (t)\) eines Feldes \(H\) sei das Funktional \(F[y] = f\) zugeordnet. Aus \(H\) wird eine Schar von Funktionen \(y (t, \alpha)\) herausgegriffen, die von dem komplexen Parameter \(\alpha\) analytisch abhängt und eine ''analytische Linie'' heißt. Die diesen Funktionen zugeordneten Funktionalwerte bilden eine Funktion \(f (\alpha)\). Wenn diese in \(\alpha\) analytisch ausfällt, wie auch die ''analytische Linie'' ausgewählt ist, so heißt das Funktional analytisch. Man kann dann auf \(H\) den Begriff des Zusammenhangs übertragen und auch eine analytische Fortsetzung von \(F\) zu bewerkstelligen versuchen. -- Wenn die ''analytische Linie'' \(\dfrac{1}{t - \alpha}\) zu \(H\) gehört und \(F\) linear ist, so heißt \[ F_t \left[ \frac{1}{t - \alpha} \right] = v(\alpha) \] die Indikatrixfunktion von \(H\), und \(F\) läßt sich für alle \(y\) von \(H\) durch das ''funktionale Produkt'' \[ F[y] = \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{C} v(t) y(t) \, dt = {\underset{*} {v(t)} y ({\overset{*} t})} \] ausdrücken, wo \(C\) eine Kurve ist, die die Singularitäten von \(y\) ein- und die von \(v\) ausschließt. \(v(t)\) kann bei analytischer Fortsetzung eine mehrdeutige Funktion sein, wodurch auch \(F\) mehrdeutig wird. Hängt das Funktional \(f\) außer von der Funktion \(y(t)\) noch von einem Parameter \(z\) analytisch ab (''gemischtes'' Funktional), so ist es eine Funktionaloperation: \[ F[y(t); z] = f(z). \] Die Indikatrixfunktion hängt dann auch von \(z\) ab: \[ v(z,\alpha) = F_t \left[ \frac{1}{t - \alpha}; z \right]. \] * \(F\) läßt sich wieder so ausdrücken: \[ F[y(t); z] = \frac{1}{2 \pi i} \int\limits_{C} v(z,t) y(t) \, dt = f(z). \] * \(f (z)\) ist außer für die \(z\), zu denen kein \(v(z,t)\) existiert, nur noch singulär für die \(z\), bei denen ein singulärer Punkt \(t\) von \(v(z,t)\) mit einem so…
zbMATH DE Number: 2573209
author: Luigi Fantappie
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W882052587
DOI: 10.4064/SM-1-1-141-158
description: scientific article; zbMATH DE number 2573209