Les caractéristiques doubles et le problème de la déformation des surfaces.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Les caractéristiques doubles et le problème de la déformation des surfaces.
zbMATH Open document ID: 55.0879.05
author: E. Goursat
published in: Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série
publication date: 1929-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/81463
review text: Verf. entwickelt zunächst die Charakteristikentheorie einer \textit{Monge-Ampère}schen Differentialgleichung (\(E_2\)) der Form: \[ Hr+2Ks+Lt+M+N((rt-s^2)=0,\;N\not\equiv0; \tag{1} \] ihre Charakteristiken erster Ordnung sind durch das System \[ \begin{matrix} N\,dp&+&L\,dx&+&\lambda_1\,dy&=&0,\\ N\,dq&+&\lambda_2\,dx&+&H\,dy&=&0,\\ dz&-&p\,dx&-&q\,dy&=&0 \end{matrix} \tag{2} \] gegeben, worin \(\lambda_i\) Wurzeln der quadratischen Gleichung: \[ \lambda^2+2K\lambda+HL-MN=0 \tag{3} \] sind, deren Diskriminante \(F\) die Existenz zweier getrennter oder zusammenfallender Charakteristikenscharen entscheidet. Bezeichnet man im Falle \(\lambda_1=\lambda_2=-K\) die Gleichungen (2) abgekürzt mit \(\varOmega_i=0\), so sind die sogenannten Doppelcharakteristiken durch das System: \(F=\varOmega_1=\varOmega_2=\varOmega_3=0\) gegeben. Sie hängen von drei willkürlichen Konstanten bzw. von einer willkürlichen Funktion einer Variablen ab, je nachdem ihre definierenden Differentialgleichungen auf ein System von drei Differentialgleichungen erster Ordnung oder auf ein \textit{Pfaff}sches System zweier Gleichungen in vier Variablen reduziert werden können. Eine Gleichung von der Form (1) liefert das Verschwinden der Totalkrümmung der quadratischen Form \[ ds^2-dz^2=(1-p^2)\,du^2-2pq\,du\,dv+(C^2-q^2)\,dv^2\; \bigg(p=\dfrac{\partial z}{\partial u},\,q=\dfrac{\partial z}{\partial v}\bigg), \tag{9} \] nämlich \[ C(rt-s^2)+ \bigg[c^2\dfrac{\partial C}{\partial u}p-\dfrac{\partial C}{\partial v}q\bigg]r+ 2\dfrac{\partial C}{\partial u}qs-C^2\dfrac{\partial^2 C}{\partial u^2}p^2 -\bigg[\dfrac{\partial^2 C}{\partial u^2}+\frac1C \bigg(\dfrac{\partial C}{\partial u}\bigg)^2\bigg]q^2+ c^2\dfrac{\partial^2 C}{\partial u^2}=0, \tag{10} \] wo $C$ eine mit dem Bogenelement $ds^2 = du^2 + C^2dv^2$ einer Fläche $z = z(u, v)$ gegebene Funktion der Parameter $u$, $v$ ist. Da jedes Integral der Gleichung erster Ordnung $(E_1)$ \[ C^2(1-p^2)-q^2=0\quad(F=0) \tag{11} \] auch die so gewonnene {\it Monge-…
zbMATH DE Number: 2573303
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2603554357
DOI: 10.24033/ASENS.796
description: scientific article; zbMATH DE number 2573303