On a quadrature formula for trigonometric integrals.
Es handelt sich um eine Quadraturformel für Integrale der Form \[ \int\limits_a^b \sin kx \psi (x)\, dx \] bei großen Werten von \(k\), wo die \textit{Simpson}sche Formel eine allzu feine Unterteilung des Integrationsintervalles erfordern würde. Das Intervall wird in eine gerade Anzahl \(2n \) von Teilen der Länge \(h\) zerlegt: \[ x_r = a + rh\qquad (r = 0,\,1,\,\ldots,\, 2n). \] Verf. setzt nun voraus, daß im Intervall \((x_{r-1}, x_{r+1})\) die Funktion \(\psi(x)\) mit ausreichender Genauigkeit durch ein quadratisches Polynom \[ \begin{gathered} A + B (x- x_r) + (Cx-x_r)^2, \\ A = \psi_r,\quad B =\frac1{2h}(\psi_{r+1} - \psi_{r-1}),\quad C = \frac1{2h^2}(\psi_{r+1} +\psi_{r-1}-2\psi_r), \end{gathered} \] mit \(\psi_r = \psi (x_r)\) approximiert werden könne. Partielle Integration der \[ \int\limits_{x_{2r-2}}^{x_{2r}} \sin kx \psi (x)\, dx\qquad (r =1,\,2,\,\ldots,\, n) \] unter Ersetzung von \(\psi (x)\) durch das Näherungspolynom und Summation nach \(r\) führt zu der Formel \[ \int\limits_a^b \sin kx\psi(x)\, dx = h [\alpha \{\psi (a) \cos ka - \psi (b) \cos kb\} + \beta S_{2r} + \gamma S_{2r-1}], \] in der \[ \begin{aligned} \alpha &= \frac1\vartheta + \frac1{\vartheta^2} \cos \vartheta \sin \vartheta \frac2{\vartheta^3}\sin^2 \vartheta,\\ \beta &=2 \left[\frac1{\vartheta^2}(1+\cos^2\vartheta)\frac2{\vartheta^3}\sin\vartheta\cos\vartheta\right], \\ \gamma &= 4 \left[\frac1{\vartheta^3}\sin\vartheta-\frac1{\vartheta^2}\cos \vartheta\right] \end{aligned} \] mit \(\vartheta = hk\) ist; der aus den Ordinaten der Teilpunkte mit geraden Indices gebildete Ausdruck \[ 2S_{2r} = 2 \sum_{r=0}^n \psi(x_{2r}) \sin kx_{2r} - \psi (a) \sin ka - \psi (b) \sin kb \] tritt auch in der \textit{Simpson}schen Formel auf, und \(S_{2r-1}\) bedeutet die Summen der Ordinaten der Teilpunkte mit ungeraden Indices: \[ S_{2r-1} = \sum_{r=1}^n\psi(x_{2r-1}) \sin kx_{2r-1}. \] Bei kleinem \(k\), d. h. \(\vartheta\to 0\), geht die Formel in die \textit{Simpson}sche über. In einer Tabelle sind Werte von \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) in Abhängigkeit von \(\vartheta\) zusammengestellt. Verf. wendet dann seine Formel speziell auf Integrale der Form \[ \int\limits_0^\infty \sin kx \frac{\varphi(x)}x\, dx \] an, wobei \(\varphi(0)\not= 0\) sein soll. Schließlich wird die Regel auf Integrale der Form \[ \int\limits_a^b\psi (x) \sin (kx +\varepsilon)\, dx \] ausgedehnt, die für \(\varepsilon = \dfrac\pi2\) insbesondere zu \[ \int\limits_a^b \psi (x) \cos kx\,dx \] führen. Zur Untersuchung über die Güte der Approximation wird der Unterschied zwischen den Näherungsintegralen über die Intervalle \((x_{r-1},x_{r+1})\) und den entsprechenden Integralen bei nochmaliger Halbierung der Intervalle ausgenutzt.
scientific article; zbMATH DE number 2573604