Die Automorphismen der projektiven Gruppen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Die Automorphismen der projektiven Gruppen.
zbMATH Open document ID: 54.0149.02
DOI: 10.1007/BF02940620
published in: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
publication date: 1928-01-01T00:00:00Z
review text: Ist \(\mathfrak K\) ein beliebiger Körper, \(R_n({\mathfrak K})\) der projektive \(n\)dimensionale Raum, so zeichne \(\tilde{ \mathfrak P}_n({\mathfrak K})\) die projektive Gruppe in \(R_n(\mathfrak K)\), d. h. die Gruppe der nichtsingulären Transformationen \[ x_i'=\sum_{k=0}^n a_{ik}x_k \quad (i=0,1,\ldots,n) \] mit Koeffizienten aus \(\mathfrak K\), wobei es bloß\ auf die Verhältnisse der Koeffizienten \(a_{ik}\) ankommt. Die Gruppe derjenigen Transformationen, deren Determinante bei geeigneter Wahl des willkürlichen konstanten Faktors den Wert 1 hat, die unimodulare projektive Gruppe, werde mit \({\mathfrak P}_n({\mathfrak P})\) bezeichnet. Es wird die Aufgabe behandelt, alle Automorphismen dieser Gruppe \({\mathfrak P}_n({\mathfrak K})\) aufzustellen. Es wird gezeigt, daß\ man jeden Automorphismus in der Form \(S \to CSC^{-1}\) erhalten kann, wo \(C\) eine beliebige Kollineation oder Korrelation des \(R_n({\mathfrak K})\) bedeutet; umgekehrt stellt jede solche Zuordnung natürlich immer einen Automorphismus dar. Unter Kollineationen sind dabei für \(n \geqq 2\) die eineindeutigen Punkttransformationen des \(R_n({\mathfrak K})\) zu verstehen, bei denen Hyperebenen in Hyperebenen übergehen; für \(n=1\) ist die Definition in naturgemäßer Weise zu ergänzen. Ist speziell \(\mathfrak K\) ein Galois-Feld, \({\mathfrak P}_n({\mathfrak K})\) also eine der bekannten (abgesehen von zwei Ausnahmefällen einfachen) Gruppen, so ergibt sich, daß\ die Faktorgruppe der ganzen Automorphismengruppe durch die Gruppe der inneren Automorphismen stets auflösbar ist. Weiter wird gezeigt, daß\ zwei Gruppen \({\mathfrak P}_n({\mathfrak K})\) niemals isomorph sind, wenn die Dimensionszahlen \(n\) verschieden sind oder sie zu nicht isomorphen Körpern \(\mathfrak K\) gehören. Dabei sind zwei Ausnahmefälle, bei denen \(\mathfrak K\) ein Galois-Feld ist, außer acht zu lassen. Die Ausnahmefälle sind übrigens bereits bei \textit{Dickson} (Linear Groups) angegeben. Schließlich wird gezeigt, daß\ …
zbMATH DE Number: 2575976
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02940620
OpenAlex ID: W2023408347
author: Otto Schreier
author: B. L. van der Waerden
description: scientific article; zbMATH DE number 2575976