The magnitude of the derivative of a function.
Zunächst wird ein sehr einfacher, sich wesentlich auf den Mittelwertsatz stützender Beweis des folgenden Theorems gegeben, das eine Verallgemeinerung eines Satzes von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} ist: Seien \(\Phi(x)\) und \(\Psi(x)\) positive, beständig wachsende oder abnehmende Funktionen, so folgt für \(x \to \infty\) aus \[ | f(x)|<\Phi(x)\;\text{und}\;| f''(x)|<\Psi(x) \] die Ungleichung \[ | f'(x)|<(1+\varepsilon)[\Phi(x) \Psi(x)]^{\frac 12}, \] wobei \(\varepsilon>0\) ist und gegen 0 strebt. Auch der nachstehende Satz von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood}, für den sich bei \textit{Landau} ein Beweis findet, wird in ähnlich einfacher Weise bestätigt: Existiert \(f''(x)\) für kleine positive \(x\), und ist für solche Werte \(x^2f''(x)\) nach oben beschränkt, so folgt für \(x \to 0\) aus \(f(x)\to 0\) auch \(xf'(x)\to 0\).
scientific article; zbMATH DE number 2576378