A formula of Ramanujan.
type: Item
instance of: scholarly article
title: A formula of Ramanujan.
zbMATH Open document ID: 54.0369.02
author: G. H. Hardy
published in: Journal of the London Mathematical Society
publication date: 1928-01-01T00:00:00Z
review text: Für die \textit{Ramanujan}s Manuskript gefundene Formel \[ (*)\quad \alpha^k \left( \frac 12 \zeta(1-2k)+\sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2k1}}{e^{2n \alpha}-1} \right)=(-\beta)^k \left( \frac 12 \zeta(1-2k)+ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2k-1}}{e^{2n \beta}-1} \right) \] (\(k\) ganz und größer als \(1,\alpha>0,\beta>0,\alpha \beta=\pi^2\)) gibt der Verf. hier zwei verschiedene Beweise. Der erste geht von der \textit{Mellin}schen Formel aus und gelangt zu \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{2k-1}}{e^{2n \alpha}-1}=\frac{1}{2\pi i} \int_{\kappa-i \infty}^{\kappa+i \infty} \Gamma(s) \zeta(s) \zeta(s-2k1)(2\alpha)^{-s} ds \] mit \(2k<\kappa<2k+1\). Verschiebung des Integrationsweges nach links und Anwendung der Funktionalgleichungen für \(\Gamma(s)\) und \(\zeta(s)\) liefert schon die zu beweisende Formel. Der zweite Beweis beruht auf einer Anwendung der \textit{Poisson}schen Summenformel. Da übrigens für ungerades \(k\) und für \(\alpha=\beta\) die beiden Seiten von \((\ast)\) einander entgegengesetzt gleich werden, also verschwinden müssen, so enthält \((*)\) als Spezialfall die gleichfalls von \textit{Ramanujan} aufgestellte und von \textit{Watson} bewiesene Formel \[ \sum_{n=1}^\infty \frac{n^{4m+1}}{e^{2n \pi}-1}=\frac{B_{2m+1}}{8m+4} \;(m=1,2,\dots). \]
zbMATH DE Number: 2576792
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s1-3.3.238
OpenAlex ID: W1965036608
DOI: 10.1112/JLMS/S1-3.3.238
description: scientific article; zbMATH DE number 2576792