Les rotations fonctionnelles.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Les rotations fonctionnelles.
zbMATH Open document ID: 54.0432.02
author: J. Delsarte
published in: Annales de la Faculté des Sciences de l'Université de Toulouse pour les Sciences Mathématiques et les Sciences Physiques. 3ième Série
publication date: 1928-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/72905
review text: 1. Ist die Substitution im \(n\)-dimensionalen Raum \[ y_i=\sum_{j=1}^n C_{ij}X_j \;(i=1,\dots,n) \] orthogonal, so lassen sich die Gleichungen einfach so auflösen: \[ x_i=\sum_{j=1}^n C_{ij}y_j. \] Um unter den linearen Transformationen des unendlichvieldimensionalen Raumes (von kontinuierlich viel Dimensionen -- der einzelne Punkt wird durch eine im Intervall \(<a,b>\) quadratisch Lebesgue-integrable Funktion dargestellt) vom \textit{Fredholm}schen Typus \[ \varphi(s)=f(s)+\int_a^b K(s,t)f(t)dt \equiv K[f] \] gewisse Transformationen als ``orthogonal'' auszuzeichnen, geht Verf. von obiger Auflösung aus und definiert eine Transformation als orthogonal, wenn sie sich in der Form \[ f(s)=\varphi(s)+\int_a^b K(t,s)\varphi(t) dt \] umkehren läßt. \(K(s,t)\) heiß\ t alsdann ein Drehungskern, die Transformation eine funktionale Drehung. Ist \(\Gamma(s, t;\lambda)\) der lösende Kern zu \(K(s,t)\), d. h. die Resolvente der Integralgleichung \[ f(s)=\varphi(s)+\lambda \int K(s,t)f(t)dt, \] so muß \[ K(t,s)=-\Gamma(s,t;-1) \] sein. Hieraus ergibt sich vermittels bekannter Sätze der Integralgleichungstheorie: Notwendig und hinreichend dafür, daß\ \(K(s,t)\) einen Drehungskern darstellt, ist, daß\ \(K(s,t)\) mit der Resolvente eines schiefsymmetrischen Kernes für den Parameterwert \(\lambda=\frac 12\) übereinstimmt. 2. Die funktionalen Drehungen bilden eine Gruppe. Sie lassen das innere Produkt \[ [\varphi_1 \cdot \varphi_2]=\int \varphi_1(s) \varphi_2(s)ds \] zweier quadratisch integrabler Funktionen invariant (d. h. ``Abstand'' und ``Winkel'' bleiben ungeändert) und transformieren daher ein (normiertes, vollständiges) Orthogonalsystem wieder in ein solches; die Fourierkoeffizienten einer Funktion bezüglich des alten Systems sind gleich denen der transformierten Funktion bezüglich des neuen. Eine funktionale Drehung transformiert ein normiertes Orthogonalsystem \(\varphi_\nu(s)\), das gleichmäßig dicht oder normal dicht ist, in ein ebensolches. (``Gleichmäßig dicht'' heißt: \…
zbMATH DE Number: 2577022
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1999486425
DOI: 10.5802/AFST.348
description: scientific article; zbMATH DE number 2577022