Über Stabilität und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über Stabilität und asymptotisches Verhalten der Integrale von Differentialgleichungssystemen.
zbMATH Open document ID: 54.0456.04
DOI: 10.1007/BF01180524
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1928-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/168063
review text: In dieser Arbeit handelt es sich um Differentialgleichungssysteme der Form \[ \frac{dx_\nu}{dt}=a_{\nu 1}x_1+\cdots+a_{\nu n}x_n+\varphi_\nu(x_1,\dots,x_n,t) \;(\nu=1,2,\dots,n), \] wo die \(a_{\nu \mu}\) reelle oder komplexe Konstanten, die \(x_\mu\) reelle oder komplexe stetige Funktionen und die \(x_\mu\) reelle oder komplexe Funktionen der reellen Veränderlichen \(t\) für \(t \geqq 0\) sind; außerdem soll \(\varphi_\nu(0,\dots,0,t)=0\) sein für \(t \geqq 0\). Die triviale Lösung \(x_\nu=0\) heiß\ t \textit{stabil}, wenn es eine Zahl \(a>0\) folgender Art gibt: Jedem \(\varepsilon\) \((0<\varepsilon<a)\) läß\ t sich ein \(\varepsilon_1\) \((0<\varepsilon_1<\varepsilon)\) zuordnen, sodaß\ jedes Integralsystem, für dessen Ausgangswerte \[ (1)\quad 0 < \sum| x_\nu(0)|<\varepsilon_1 \] gilt, für \(t \geqq 0\) ständig existiert und die Ungleichung \[ (2)\quad \sum | x_\nu(t)|<\varepsilon \] erfüllt. Andernfalls heiß\ t die Lösung \textit{instabil}; sie heiß\ t \textit{vollkommen instabil}, wenn bei jedem Integralsystem, für welches \(0<\sum| x_\nu(0)|<\varepsilon_1\), für ein endliches \(t\) die Existenz aufhört oder \(\sum | x_\nu(t)|=\varepsilon\) wird. Sie heiß\ t \textit{unvollkommen instabil oder ledingt stabil}, wenn wohl \textit{einige}, aber niemals \textit{alle} Integrale, die (1) erfüllen, für alle \(t \geqq 0\) existieren und (2) befriedigen. Die stetige Funktion \(\varphi(x_1,\dots,x_n,t)\) erfüllt die \textit{Bedingung} \(\mathfrak A\), wenn es zwei Konstanten \(a\) und \(K\) derart gibt, daß \[ | \varphi(x_1,\dots,x_n,t)| \leqq K(| x_1|+\cdots+| x_n|)\;\text{für}\;| x_\nu| \leqq a,t \geqq 0; \] \textit{die Bedingung} \(\mathfrak B\), wenn \[ \frac{\varphi(x_1,\dots,x_n,t)}{| x_1|+\cdots+| x_n|} \to 0 \;\text{für} \;| x_1|+\cdots+| x_n| \to 0,\;t \to \infty; \] \textit{die Bedingung} \(\mathfrak C\), wenn es zu jedem \(\varepsilon>0\) zwei Zahlen \(\delta_\varepsilon\) und \(T_\varepsilon\) derart gibt, daß \[ | \varphi(x_1',\dots,x_n',t)-\varphi (x_1'',\…
zbMATH DE Number: 2577125
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1970778891
author: Oskar Perron
description: scientific article; zbMATH DE number 2577125