On the irregular cases of the linear ordinary difference equation.
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the irregular cases of the linear ordinary difference equation.
zbMATH Open document ID: 54.0483.01
DOI: 10.2307/1989081
published in: Transactions of the American Mathematical Society
publication date: 1928-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. untersucht die lineare Differenzengleichung \(n\)-ter Ordnung \[ \sum_{\nu=0}^n a_\nu(x) g(x+n-\nu)=0 tag{1} \] der komplexen Variablen \(x\), deren Koeffizienten durch die für \(| x|>R\) gültigen Entwicklungen \[ a_\nu(x)=x^m(a_{\nu 0}+a_{\nu 1}x^{-1}+a_{\nu 2} x^{-2}+\ldots) \;(\nu=0,1,\ldots,n) tag{2} \] dargestellt seien. Wenn die ``charakteristische Gleichung'' von (1): \[ a_{00}\varrho^n+a_{10} \varrho^{n+1}+\cdots +a_{n-10} \varrho+a_{n 0}=0 tag{3} \] lauter endliche, von Null und paarweise von einander verschiedene Wurzeln besitzt, so spricht man von dem ``regulären Fall'' der Gleichung (1), den man vollständig beherrscht. Verf. beschäftigt sich in der vorliegenden Arbeit ausschließlich mit den ``irregulären Fällen'' von (1), d. h. mit solchen Fällen, in denen die soeben über die Wurzeln von (3) ausgesprochenen Annahmen nicht sämtlich erfüllt sind. Irreguläre Fälle sind bisher für die Differenzengleichung zweiter Ordnung von \textit{E. W. Barnes} [Messenger (2) 34, 52--71 (1904; JFM 35.0348.01)], \textit{Perron} [Sitzungsber. Heidelb. Akad. Wiss., Math.-Naturwiss. Kl. 1917, 17. Abh., 20 S. (1917; JFM 46.0706.01)] und \textit{P. M. Batchelder} [An introduction to linear difference equations. London: Oxford University Press (1927; JFM 53.0430.10)] behandelt worden; Barnes untersuchte vollständig den Spezialfall einer Gleichung mit linearen Polynomen als Koeffizienten, Perron den Fall einer beliebigen Gleichung zweiter Ordnung, deren charakteristische Gleichung eine Doppelwurzel besitzt, während Batchelder unter Anwendung der von \textit{G. D. Birkhoff} [Trans. Am. Math. Soc. 12, 243--284 (1911; JFM 42.0359.02)] für den regulären Fall ausgearbeiteten Methode fast alle Irregularitäten der Gleichung zweiter Ordnung erledigte. Die Gleichung beliebiger Ordnung wurde in irregulären Fällen von \textit{J. Horn} [J. Reine Angew. Math. 138, 159--191 (1910; JFM 41.0367.02)] und \textit{H. Galbrun} [Bull. Soc. Math. Fr. 49, 206--241 (1921; JFM 48.0533.01)] behandelt…
Mathematics Subject Classification ID: 39A06
zbMATH DE Number: 2577217
author: C. Raymond Adams
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/1989081
OpenAlex ID: W4252299609
description: scientific article; zbMATH DE number 2577217