Vorlesungen über nicht-euklidische Geometrie. 3. Aufl. Für den Druck neu bearbeitet von W. Rosemann.
Die bekannten autographierten Vorlesungen \textit{Felix Klein}s über nichteuklidische Geometrie liegen in dritter, gänzlich neubearbeiteter Auflage vor (1. Aufl. 1892, 2. Aufl. 1893). Die Neubearbeitung hat \textit{W. Rosemann} besorgt, und zwar auf Grund ausführlicher Besprechungen mit \textit{Klein} selbst. Eine wesentliche Mitarbeit hat auch \textit{H. Hopf} geleistet, der nicht nur groß\ e Teile des Manuskripts durchgesehen, sondern auch einige Abschnitte selbständig bearbeitet hat. Aus dem Vorwort des Bearbeiters: ``Aus der ursprünglichen autographierten Vorlesung... sind zahlreiche Stellen gestrichen. Dafür ist eine Einführung in die Grundlagen der projektiven Geometrie vorangestellt. Weiter mußte in dem übrigen Teil des Buches mit Rücksicht auf die neuere Entwicklung überall weiterer Stoff eingegliedert werden, so daß\ die Vorlesung zum Schluß\ eine völlig neue Gestalt gewann; die beiden ersten Kapitel sind sehr ausführlich gehalten, um das Verständnis der weiteren Teile des Buches zu erleichtern; der Leser, dem die projektive Geometrie bereits bekannt ist, möge sie bis auf \S\,6 des zweiten Kapitels überschlagen. Kapitel III bringt die Entwicklungen, die zum Verständnis der nichteuklidischen Bewegungen notwendig sind, und kann vom Anfänger beim ersten Studium übergangen werden.'' Inhaltsverzeichnis: Erster Teil: Einführung in die projektive Geometrie. Kap. I: Die Grundbegriffe der projektiven Geometrie. \S\,1. Die affinen, die homogenen und die projektiven Koordinaten. \S\,2. Die Zusammenhangsverhältnisse der projektiven Gebilde; die Einseitigkeit der projektiven Ebene. \S\,3. Die homogenen linearen Substitutionen. \S\,4. Die projektiven Transformationen. \S\,5. Die \(n\)-dimensionalen Mannigfaltigkeiten. \S\,6. Projektive Geraden- und Ebenenkoordinaten; das Prinzip der Dualität. \S\,7. Die Doppelverhältnisse. \S\,8. Imaginäre Elemente. Kap. II: Die Gebilde zweiten Grades. \S\,1. Die Polarverwandtschaft der Gebilde zweiter Ordnung und Klasse. \S\,2. Das Entsprechen der nichtausgearteten Ordnungs- und Klassengebilde zweiten Grades. \S\,3. Die Einteilung der Gebilde zweiter Ordnung. \S\,4. Die Einteilung der Gebilde zweiter Klasse; Beziehungen zur Einteilung der Gebilde zweiter Ordnung. \S\,5. Die geraden Linien auf den nicht ausgearteten Flächen zweiter Ordnung. \S\,6. Die geometrischen Übergänge zwischen den einzelnen Gebilden zweiten Grades; die Einteilung dieser Gebilde. Kap. III: Die Kollineationen, die ein Gebilde zweiten Grades in sich überführen. \S\,1. Der eindimensionale Fall. \S\,2. Der zweidimensionale Fall. \S\,3. Der dreidimensionale Fall. Zweiter Teil: Die projektive Maßbestimmung. Kap. IV: Die Einordnung der euklidischen Metrik in das projektive System. \S\,1. Die metrischen Grundformeln der euklidischen Geometrie. \S\,2. Diskussion der metrischen Formeln; die beiden Kreispunkte und der Kugelkreis. \S\,3. Die euklidische Metrik als projektive Beziehung zu den fundamentalen Gebilden. \S\,4. Die Ersetzung der Kreispunkte und des Kugelkreises durch reelle Gebilde. \S\,5. Die Metrik im Strahl- und Ebenenbündel; die sphärische und die elliptische Geometrie. Kap. V: Die von der euklidischen Geometrie unabhängige Einführung der projektiven Koordinaten. \S\,1. Die Konstruktion der vierten harmonischen Elemente. \S\,2. Die Koordinateneinführung im eindimensionalen Gebiet. \S\,3. Die Koordinateneinführung in der Ebene und im Raum. Kap. VI: Die projektiven Maßbestimmungen. \S\,1. Die nichtausgearteten Maßbestimmungen. \S\,2. Die ausgearteten Maßbestimmungen. \S\,3. Die Dualität. \S\,4. Die starren Transformationen. Kap. VII: Die Beziehungen zwischen der elliptischen, euklidischen und hyperbolischen Geometrie. \S\,1. Die Sonderstellung der drei Geometrien. \S\,2. Der Übergang von der elliptischen über die euklidische zur hyperbolischen Geometrie. \S\,3. Die Darstellung der elliptischen und hyperbolischen Geometrie auf der euklidischen Kugel von reellem und imaginärem Radius. \S\,4. Herleitung der Formeln der elliptischen und hyperbolischen Geometrie aus denen der Geometrie auf der euklidischen Kugel. \S\,5. Winkelsumme und Inhalt des Dreiecks. \S\,6. Die euklidische und die beiden nichteuklidischen Geometrien als System der Maßbestimmungen, die auf die Außenwelt passen. Kap. VIII: Besondere Untersuchung der beiden nichteuklidischen Geometrien. \S\,1. Die elliptische und die hyperbolische Geometrie auf der Geraden. \S\,2. Die elliptische Geometrie der Ebene. \S\,3. Die hyperbolische Geometrie der Ebene. \S\,4. Die Theorie der Kurven zweiten Grades in den ebenen nichteuklidischen Geometrien. \S\,5. Die elliptische Geometrie des Raumes. \S\,6. Die \textit{Clifford}sche Fläche. \S\,7. Die hyperbolische Geometrie des Raumes. Kap. IX: Das Problem der Raumformen. \S\,1. Die Raumformen der ebenen euklidischen Geometrie. \S\,2. Die Raumformen der ebenen elliptischen und hyperbolischen Geometrie. \S\,3. Die Raumformen der dreidimensionalen Geometrien. Dritter Teil: Die Beziehungen der nichteuklidischen Geometrie zu anderen Gebieten. Kap. X: Die Geschichte der nichteuklidischen Geometrie; Beziehungen zur Axiomatik und zur Differentialgeometrie. \S\,1. Die Elemente Euklids und die Beweisversuche des Parallelenaxioms. \S\,2. Die axiomatische Begründung der hyperbolischen Geometrie. \S\,3. Die Grundlagen der Flächentheorie. \S\,4. Der Zusammenhang der ebenen nichteuklidischen Geometrie mit der Flächentheorie. \S\,5. Die Erweiterung der differentialgeometrischen Gesichtspunkte durch Riemann. \S\,6. Die konformen Abbildungen der nichteuklidischen Ebene. \S\,7. Das Eingreifen der projektiven Geometrie. \S\,8. Der weitere Ausbau der nichteuklidischen Geometrie, insbesondere der Differentialgeometrie. Kap. XI: Ausblicke auf Anwendungen der nichteuklidischen Geometrie. \S\,1. Die hyperbolischen Bewegungen des Raumes und der Ebene und die linearen Substitutionen einer komplexen Veränderlichen. \S\,2. Über Anwendungen der hyperbolischen Geometrie des Raumes auf lineare Substitutionen. \S\,3. Automorphe Funktionen, Uniformissierung und nichteuklidische Maßbestimmung. \S\,4. Bemerkung über die Anwendung der nichteuklidischen Maßbestimmung in der Topologie. \S\,5. Die Anwendung der projektiven Maßbestimmung in der speziellen Relativitätstheorie. Sachverzeichnis. Besprechung: St. Lipka; Acta Szeged 4 (1929), 189-190. E. S. Allen; Bulletin A. M. S. 35 (1929), 271-276.
scientific article; zbMATH DE number 2577726