Untersuchungen über allgemeine Metrik.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Untersuchungen über allgemeine Metrik.
zbMATH Open document ID: 54.0622.02
DOI: 10.1007/BF01448840
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1928-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/159284
review text: Die Arbeit besteht aus drei Untersuchungen über die allgemeinen metrischen Räume im Sinne von \textit{Fréchet}, wobei die Metrik als selbständiges Untersuchungsobjekt betrachtet wird, im Gegensatz zur vorherrschenden Tendenz, die allgemeine Metrik nur als Hilfsmittel bei topologischen Untersuchungen aufzufassen. Die erste Untersuchung bringt eine Theorie der \textit{Konvexität}, mit der folgenden Definition als Ausgangspunkt: Ein Raum heiß\ t konvex, wenn es zu je zweien seiner Punkte \(a\) und \(b\) einen dritten Punkt \(c\) mit der Eigenschaft: \[ ab=ac+bc \] (unter \(ab\) allgemein den Abstand zwischen den Punkten \(a, b\) verstanden) gibt, so daß\ also für diese drei Punkte der äußerste Fall der ``Dreiecksungleichung'' vorliegt. In konvexen vollständigen Räumen kann man zwischen je zwei Punkten \(a\) und \(b\) \textit{geodätische Bögen} definieren, als abgeschlossene Mengen, welche \(a\) und \(b\) enthalten und mit der Strecke von der Länge ab kongruent sind. Unter allen einfachen Bögen zwischen \(a\) und \(b\) sind die geodätischen durch ihre kleinstmögliche Länge charakterisiert. Es folgen einige Aussagen über die Verteilung der metrisch singulären Punkte in konvexen Räumen. Weiter wird dargelegt, wie man durch Spezialisierung der konvexen Räume zu Gebilden gelangt, in denen im Einklang mit elementargeometrischen Axiomen je zwei Punkte eine ``Gerade'' bestimmen, die ihrerseits durch je zwei auf ihr gelegene Punkte bestimmt wird. Die zweite Untersuchung beschäftigt sich vorwiegend mit der Frage: Wann ist ein metrischer Raum mit einer Teilmenge des Euklidischen \(n\)-dimensionalen Raumes \(R_n\) kongruent? Die Lösung gelingt durch Zurückführung der Frage auf Einbettung von Systemen aus endlich-vielen Punkten. Es gilt nämlich: Damit der Raum \(\Re\) in den \(R_n\) metrisch einbettbar sei, ist, falls \(\Re\) mehr als \(n+3\) Punkte enthält, notwendig und hinreichend, daß\ jedes System aus je \(n+2\) Punkten von \(\Re\) in \(R_n\) einbettbar sei (für Räume, die aus…
zbMATH DE Number: 2577826
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W4248108185
author: Karl Menger
description: scientific article; zbMATH DE number 2577826