Les systèmes conjugués de 2\(^e\) espèce en involution ou grilles.
Jedem Punkte \(P\) eines Netzes (réticule), d. h. eines zweifachen Kurvensystems auf einer Fläche im Hyperraum, läß\ t sich folgendermaßen ein Tangential-\(E_3\) zuordnen: Man betrachte die beiden durch \(P\) gehenden Repräsentanten der Kurvenscharen, ferner die Regelflächen, erzeugt durch die Tangenten in den Punkten einer Kurve an die Kurven der anderen Schar. Beide Flächen haben in \(P\) denselben 1-oskulierenden \(E_3\), der als Tangential-\(E_3\) des Netzes bezeichnet wird und die Tangentialebene der Netzfläche enthält. Dieser Tangential-\(E_3\) wird unbestimmt, wenn eine (und damit auch die andere) Regelfläche abwickelbar ist, wenn also das Netz ein konjugiertes ist (réseau). Im allgemeinen existieren \(\infty^2\), in gewissen angebbaren Spezialfällen nur \(\infty^1\) Tangential-\(E_3\). Ordnen sich diese \(E_3\) zu zwei Scharen von Abwickelbaren an, so liegt ein konjugiertes System zweiter Art in Involution (grille, ``Gitter'') vor, da auch (allgemeiner) definiert werden kann als konjugiertes System zweiter Art (vergl. \textit{E. Bompiani}, 1922; F. d. M. 48, 852 (JFM 48.0852.*)), in dem die Schmiegebenen in den Punkten einer Kurve der einen Schar an die Kurven der anderen Schar eine feste Kurve berühren. Die zweite \textit{Laplace}sche Transformierte zweiter Art eines ``Gitters'' ist ein konjugiertes Netz. Gehen alle Tangential-\(E_3\) durch einen Punkt (spezielles Gitter), so ist das Gitter zu einem konjugierten Netz perspektiv. Zu jedem Gitter gehört im allgemeinen mindestens eine Kongruenz, deren Abwickelbare das Gitter auf der Trägerfläche ausschneiden. Die Ausnahmefälle werden angegeben, ebenso die Fälle, in denen zu einem Gitter mehrere Kongruenzen der angegebenen Art gehören. Alle Nicht-Regelflächen einer solchen Kongruenz sind Trägerflächen eines Gitters. Die analytischen Untersuchungen knüpfen an eine andere vom Verf. gegebene Kennzeichnung der Gitter an: Die projektiven homogenen Punktkoordinaten der Trägerfläche, bezogen auf die Gitterkurven als Parameterlinien, genügen zwei linearen partiellen Differentialgleichungen dritter Ordnung von bestimmtem (hyperbolischem) Typus. Im zweiten Teil der Arbeit werden ``parabolische'' Netze betrachtet; bei ihnen fallen die beiden Kurvenscharen zusammen. Durch sinngemäß\ e Modifikation der Definitionen und Überlegungen gelingt die Übertragung der Hauptergebnisse des ersten Teiles. Der dritte Teil schließlich ist dem Studium der Trägerflächen (\(\Psi\)Flächen) gewidmet. Es wird nach Bedingungen dafür gesucht, daß\ eine Fläche \(\Psi\)-Fläche ist, ferner dafür, daß\ man auf ihr mehrere Gitter ziehen kann. Unter den zahlreichen Ergebnissen seien folgende genannt: Genügt eine Fläche genau zwei Differentialgleichungen der oben angegebenen Art (normale \(\Psi\)-Fläche) so enthält sie genau ein Gitter. Jede Fläche im \(E_5\) ist \(\Psi\)-Fläche; zu ihr gehören fünf absolute projektive Invarianten, die mit den fünf Scharen von Hauptlinien zusammenhängen. Durch Relationen zwischen ihnen kann man spezielle \(\Psi\)-Flächen sowie verwandte Flächen kann zeichnen.
scientific article; zbMATH DE number 2578647