The expression of a tensor or a polyadic as a sum of products.
type: Item
instance of: scholarly article
title: The expression of a tensor or a polyadic as a sum of products.
zbMATH Open document ID: 53.0095.01
author: F. L. Hitchcock
published in: Journal of Mathematics and Physics
publication date: 1927-01-01T00:00:00Z
review text: Jeder kovariante Tensor \(A_{i_1,\ldots,i_p}\) oder \(\mathbf A\) kann in polyadischer Form (``polyadic form'') als eine Summe einer endlichen Anzahl \(h\) von Tensoren dargestellt werden, deren jeder das Produkt von \(p\) kovarianten Tensoren ist: \[ A_{i_1,\ldots,i_p}=\sum _{j=1}^ha_{1j,i_1}\ldots a_{pj,i_p}. \tag{1} \] Die kontravarianten und gemischten Tensoren können in ähnlicher Weise entwickelt werden. Den Gegenstand der vorliegenden Arbeit bildet die Behandlung des wichtigen Problems der Tensoralgebra, die Bedingungen dafür anzugeben, daß bei vorgeschriebenen \(p\) und \(n\) (Dimensionenzahl des betrachteten Raumes) die Darstellung (1) für ein bestimmtes \(h\) gilt, und ferner \(h\) möglichst klein zu machen. Man kann auch schreiben: \[ A_{i_1,\ldots,i_p}=\sum _{\alpha =1}^n A_{\alpha _1,\ldots,\alpha _p}e_{\alpha _1,i_1}\ldots e_{\alpha _p,i_p}; \tag{2} \] dabei bilden \(e_{1,i_m},\ldots,e_{n,i_m}\) ein System von \(n\) kovarianten Basisvektoren (``basis vectors''), und jede Komponente ist gleich Eins oder Null, je nachdem die beiden Indices gleich oder verschieden sind. Wenn ein gegebener Tensor auf eine gewisse Art als eine Summe von Produkten dargestellt werden kann, so trifft das auch für die Polyadik zu, deren Komponenten in dem zugrunde gelegten Koordinatensystem denjenigen des Tensors im betrachteten Punkte gleich sind, und umgekehrt. Die von dem Verf. betrachteten Polyadiken (vgl. auch die Arbeit des Verf [``A theory of ordered determinants'', Journ. of Math. Massachusetts 4, 205--237 (1925; JFM 51.0088.02)] haben keine Metrik, worin sie sich von denen von Gibbs unterscheiden. Die Polyadik ist einer linearen Transformation fähig, die sich auf einen oder mehrere Indices erstreckt; dabei kann die Substitution sich von Index zu Index ändern. Dagegen werden die kovarianten oder kontravarianten Komponenten eines Tensors in bezug auf jeden Index durch dieselbe Transformation (kovariant oder kontravariant) transformiert. Jede mehrfach invariante Eigenschaf…
zbMATH DE Number: 2581064
Wikidata QID: Q119241899
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: sapm192761164
OpenAlex ID: W2258054274
DOI: 10.1002/SAPM192761164
description: scientific article; zbMATH DE number 2581064