Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe.
zbMATH Open document ID: 53.0108.05
published in: Sitzungsberichte der Preußischen Akademie der Wissenschaften, Physikalisch-Mathematische Klasse
publication date: 1927-01-01T00:00:00Z
review text: \(\mathfrak G_n\) bedeute die Gruppe aller Matrizen des Grades \(n\) mit nicht verschwindender Determinante. Ist jedem \(A < \mathfrak G_n\) eine Matrix \(T(A)\) vom Grade \(N\) zugeordnet und gilt für \(A < \mathfrak G_n\), \(B<\mathfrak G_n\) stets \(T(A)T(B) = T(AB)\), so spricht man von einer Darstellung der Gruppe \(\mathfrak G_n\) vom Grade \(N\). Unter der Charakteristik \(\varPhi\) der Darstellung \(T(A)\) versteht man die Spur von \(T(A)\). Sind die Koeffizienten von \(T(A)\) rationale Funktionen der Koeffizienten von \(A\), so heißt die Darstellung rational; analog ist die Bezeichnungsweise, eine Darstellung ist homogen von der Ordnung \(m\), zu verstehen. Die rationalen Darstellungen von \(\mathfrak G_n\) sind von dem Verf. bereits früher [Diss. Berlin (1901; JFM 32.0165.04)] untersucht worden; hier werden die Ergebnisse auf neuem Wege hergeleitet. In der Hauptsache handelt es sich um die folgenden Sätze: Jede rationale Darstellung von \(\mathfrak G_n\) ist vollständig reduzibel; daher ist für die Ähnlichkeit (Äquivalenz) zweier Darstellungen notwendig und hinreichend, daß die Charakteristiken übereinstimmen. Da ferner jede nicht homogene Darstellung reduzibel ist, kann man sich auf die Behandlung homogener Darstellungen beschränken. Der Charakteristik \(\varPhi\) einer Darstellung, die homogen von der Ordnung \(m\) ist, ist eineindeutig ein Charakter \(\chi\) der symmetrischen Gruppe \(\mathfrak S_m\) in \(m\) Vertauschungssymbolen zugeordnet. Ist \(\chi_{\alpha_1\alpha_2\ldots \alpha_m}\) der Wert, den der Charakter \(\chi\) für die Klasse konjugierter Elemente annimmt, die in \(\alpha_1\) Zyklen der Ordnung 1, in \(\alpha_2\) Zyklen der Ordnung 2 usw. zerfällt, ist ferner \(s_k\) die Spur von \(A^k\), so wird \[ \varPhi=\sum\frac{\chi_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_m}} {\alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_m!} \left(\frac{s_1}{1}\right)^{\alpha_1} \left(\frac{s_2}{2}\right)^{\alpha_2} \ldots \left(\frac{s_m}{m}\right)^{\alpha_m}; \] dabei durchlaufen \(\alpha…
Mathematics Subject Classification ID: 20G05
zbMATH DE Number: 2581119
zbMATH Keywords: rational representations
zbMATH Keywords: general linear group
zbMATH Keywords: complete reducibility
zbMATH Keywords: characteristics
MaRDI profile type: Publication
author: Issai Schur
description: scientific article; zbMATH DE number 2581119