Über die rationalen Darstellungen der allgemeinen linearen Gruppe.
\(\mathfrak G_n\) bedeute die Gruppe aller Matrizen des Grades \(n\) mit nicht verschwindender Determinante. Ist jedem \(A < \mathfrak G_n\) eine Matrix \(T(A)\) vom Grade \(N\) zugeordnet und gilt für \(A < \mathfrak G_n\), \(B<\mathfrak G_n\) stets \(T(A)T(B) = T(AB)\), so spricht man von einer Darstellung der Gruppe \(\mathfrak G_n\) vom Grade \(N\). Unter der Charakteristik \(\varPhi\) der Darstellung \(T(A)\) versteht man die Spur von \(T(A)\). Sind die Koeffizienten von \(T(A)\) rationale Funktionen der Koeffizienten von \(A\), so heißt die Darstellung rational; analog ist die Bezeichnungsweise, eine Darstellung ist homogen von der Ordnung \(m\), zu verstehen. Die rationalen Darstellungen von \(\mathfrak G_n\) sind von dem Verf. bereits früher [Diss. Berlin (1901; JFM 32.0165.04)] untersucht worden; hier werden die Ergebnisse auf neuem Wege hergeleitet. In der Hauptsache handelt es sich um die folgenden Sätze: Jede rationale Darstellung von \(\mathfrak G_n\) ist vollständig reduzibel; daher ist für die Ähnlichkeit (Äquivalenz) zweier Darstellungen notwendig und hinreichend, daß die Charakteristiken übereinstimmen. Da ferner jede nicht homogene Darstellung reduzibel ist, kann man sich auf die Behandlung homogener Darstellungen beschränken. Der Charakteristik \(\varPhi\) einer Darstellung, die homogen von der Ordnung \(m\) ist, ist eineindeutig ein Charakter \(\chi\) der symmetrischen Gruppe \(\mathfrak S_m\) in \(m\) Vertauschungssymbolen zugeordnet. Ist \(\chi_{\alpha_1\alpha_2\ldots \alpha_m}\) der Wert, den der Charakter \(\chi\) für die Klasse konjugierter Elemente annimmt, die in \(\alpha_1\) Zyklen der Ordnung 1, in \(\alpha_2\) Zyklen der Ordnung 2 usw. zerfällt, ist ferner \(s_k\) die Spur von \(A^k\), so wird \[ \varPhi=\sum\frac{\chi_{\alpha_1\alpha_2\ldots\alpha_m}} {\alpha_1!\alpha_2!\ldots\alpha_m!} \left(\frac{s_1}{1}\right)^{\alpha_1} \left(\frac{s_2}{2}\right)^{\alpha_2} \ldots \left(\frac{s_m}{m}\right)^{\alpha_m}; \] dabei durchlaufen \(\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\) alle nicht negativen Zahlen, für die \(\alpha_1+2\alpha_2+\cdots+m\alpha_m=m\) ist. Die Charakteristiken der irreduziblen homogenen Darstellungen von der Ordnung \(m\) sind eineindeutig den Zerlegungen von \(m\) in höchstens \(n\) positive ganze Summanden \[ m=\mu_1+\mu_2+\cdots+\mu_r; \quad r\le n, \;\mu_1\ge\mu_2\ge\cdots \mu_r>0 \] zugeordnet. Der Grad der zugehörigen Darstellung von \(\mathfrak G_n\) ist dann \[ \prod_{\substack{1 \\ \varkappa<\lambda}}^n \frac{\mu_{\varkappa}-\mu_{\lambda}+\lambda-\varkappa}{\lambda-\varkappa}, \] wo für \(r<n\) die Zahlen \(\mu_{r+1}=\cdots=\mu_n=0\) zu setzen sind. Setzt man \(p_0=1\), \(p_{-1} = p_{-2} = \cdots=0\), \(p_m = \sum\frac{1}{\alpha_1!\cdots\alpha_m!} \left(\frac{s_1}{1}\right)^{\alpha_1} \cdots \left(\frac{s_m}{m}\right)^{\alpha_m}\) für \(m > 0\), wo \(\alpha_1,\ldots,\alpha_m\) dieselben Werte wie oben durchlaufen, so wird die Charakteristik selbst gleich der Determinante \(r\)-ten Grades \(|p_{\mu_{\alpha}-\alpha+\beta}|\). Durch Vergleich mit der oben genannten Form der Charakteristiken ergibt sich eine neue Methode zur Berechnung der Charaktere der symmetrischen Gruppe; vgl. dazu \textit{G. Frobenius}, Sitzungsber. Akad. Berlin 1900, 516--534 (1900; JFM 31.0129.02). (Siehe auch Abschn. IV, Kap. 8.)
scientific article; zbMATH DE number 2581119