Elementary theorems concerning power series with positive coefficients and moment constants of positive functions.
In dieser staunenswert reichhaltigen Arbeit werden 25 Sätze aus einer Gruppe von Sätzen bewiesen, aus der der Hilbertsche Satz ``Wenn \(\sum\limits_0^{\infty} a_n^2=1\), \(\sum\limits_0^{\infty} b_n^2=1\) konvergiert, so ist auch \(\sum\limits_{m,n}\dfrac{a_mb_n}{m+n+1}\) konvergent und unterhalb einer absoluten Konstanten \(K\) gelegen'' ein erster Vertreter ist. Die Hauptsätze der Arbeit ähneln den in einer vorjährigen Arbeit (Math. Ann. 97 (1926), 159-209; F. d. M. 52) über Fourierkonstanten bewiesenen. Doch ist die Analogie keine vollkommene. Die jetzigen Sätze sind überdies von viel elementarerem Charakter, und verschiedene Unterscheidungen, die bei den Sätzen über Fourierkonstanten wesentlich waren, fallen hier fort. Zunächst werden zwei Sätze über Reihen mit positiven Gliedern bewiesen: 1. Ist \(p>0\), \(c\) beliebig reell und \(\sum a_n\) eine Reihe mit positiven Gliedern, wird ferner \(s_n =a_1+a_2+\cdots+a_n\) bzw. \(= a_n + a_{n+1}+\cdots\) gesetzt, je nachdem \(\sum a_n\) divergiert oder konvergiert, und ist im ersten Falle \(c > 1\), im zweiten \(c\leqq 1\), so ist für \(p <1\): \[ \sum n^{-c}(na_n)^p\leqq K\sum n^{-c}s_n^p \] und für \(p >1\), \(c\geqq 1\): \[ \sum n^{-c}s^p_n\leqq K\sum n^{-c}(na_n^p). \] Der 2. Satz bezieht sich an Stelle von \(s_n\) auf die Größen \[ \sigma_n=\sum_m a_m r^{-\frac mn} \;\text{ für } \;c>1 \;\text{ bzw. } \;\sum_m a_m e^{-\frac nm} \;\text{ für } \;c < 1. \] Bei beiden Sätzen werden -- wie auch in allen folgenden analogen Fällen -- noch die andern Möglichkeiten bezüglich der Werte der Parameter \(p\) und \(c\) durchdiskutiert. \(K\) bedeutet eine nur von \(p\) und \(c\) abhängige Konstante. Auf diesen sehr allgemeinen und reichhaltigen Sätzen mit vielen interessanten Spezialfällen (z. B. ist der bekannte Hardysche Satz ``\(\sum\left(\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right)^p\leqq K\sum a_n^p\) für \(p>1\)'' darin enthalten) beruht dann der Beweis der beiden Hauptsätze (\S\ 3): 3. Ist \(a_n\geqq 0\), \(r\geqq p > 1\), \(q >0\) und \(A(x)=\sum a_n x^n\) für \(|x|<1\) konvergent, so ist \[ \int\limits_0^1(1-x)^{\frac rq-1} A^r(x)dx\leqq K\left(\sum_1^{\infty} n^{-\frac{p+q-pq}{q}} a_n^p\right)^{\frac rp}, \] wobei \(K\) nur von \(p\), \(q\), \(r\) abhängt. 4. Ist \(a(x)\geqq 0\) über \(<0,1>\) integrierbar, \(r\geqq p>1.q>0\) und \(A_n=\int\limits_0^1 a(x)x^ndx\), so ist \[ \sum n^{\frac rq-1} A_n^r \leqq K\left(\int\limits_0^1(1-x)^{-\frac{p+q-pq}q} a^p(x)dx\right)^{\frac rp}. \] Die Sätze 5 bis 10 sind interessante Spezialfälle dieser Hauptsätze. -- Die Spezialisierung \(r=p\), \(q=\dfrac{p}{p-1}\) bzw. \(r = p = q\) liefert vier Sätze, die besonders prägnante Analoga zu den oben erwähnten Sätzen über Fourierkonstanten darstellen. In \S\ 4 wird die Modifikation der Hauptsätze für \(0 < p < 1\) untersucht. Sie kommt im wesentlichen auf die Umkehrung des Ungleichheitszeichens und das Hinübergehen von \(K\) auf die andere Seite hinaus. (11. und 12. Satz). Die Sätze 13 bis 15 sind wieder besonders wichtige Spezialfälle. In \S\ 5 endlich wird noch ein ganzes Füllhorn weiterer Sätze verwandten Charakters ausgeschüttet, die teils aus den vorangehenden hergeleitet, teils durch sie nahe gelegt werden. ``Der Gegenstand -- sagen die Verfasser -- ist reich an eleganten Sätzen und die Hauptschwierigkeit liegt darin, die bedeutsameren unter ihnen auszuwählen und systematisch zu ordnen''.
scientific article; zbMATH DE number 2581476