Elementary theorems concerning power series with positive coefficients and moment constants of positive functions.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Elementary theorems concerning power series with positive coefficients and moment constants of positive functions.
zbMATH Open document ID: 53.0193.03
author: G. H. Hardy
author: J. E. Littlewood
published in: Journal für die Reine und Angewandte Mathematik
publication date: 1927-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/
full work available at URL: https://eudml.org/doc/149619
review text: In dieser staunenswert reichhaltigen Arbeit werden 25 Sätze aus einer Gruppe von Sätzen bewiesen, aus der der Hilbertsche Satz ``Wenn \(\sum\limits_0^{\infty} a_n^2=1\), \(\sum\limits_0^{\infty} b_n^2=1\) konvergiert, so ist auch \(\sum\limits_{m,n}\dfrac{a_mb_n}{m+n+1}\) konvergent und unterhalb einer absoluten Konstanten \(K\) gelegen'' ein erster Vertreter ist. Die Hauptsätze der Arbeit ähneln den in einer vorjährigen Arbeit (Math. Ann. 97 (1926), 159-209; F. d. M. 52) über Fourierkonstanten bewiesenen. Doch ist die Analogie keine vollkommene. Die jetzigen Sätze sind überdies von viel elementarerem Charakter, und verschiedene Unterscheidungen, die bei den Sätzen über Fourierkonstanten wesentlich waren, fallen hier fort. Zunächst werden zwei Sätze über Reihen mit positiven Gliedern bewiesen: 1. Ist \(p>0\), \(c\) beliebig reell und \(\sum a_n\) eine Reihe mit positiven Gliedern, wird ferner \(s_n =a_1+a_2+\cdots+a_n\) bzw. \(= a_n + a_{n+1}+\cdots\) gesetzt, je nachdem \(\sum a_n\) divergiert oder konvergiert, und ist im ersten Falle \(c > 1\), im zweiten \(c\leqq 1\), so ist für \(p <1\): \[ \sum n^{-c}(na_n)^p\leqq K\sum n^{-c}s_n^p \] und für \(p >1\), \(c\geqq 1\): \[ \sum n^{-c}s^p_n\leqq K\sum n^{-c}(na_n^p). \] Der 2. Satz bezieht sich an Stelle von \(s_n\) auf die Größen \[ \sigma_n=\sum_m a_m r^{-\frac mn} \;\text{ für } \;c>1 \;\text{ bzw. } \;\sum_m a_m e^{-\frac nm} \;\text{ für } \;c < 1. \] Bei beiden Sätzen werden -- wie auch in allen folgenden analogen Fällen -- noch die andern Möglichkeiten bezüglich der Werte der Parameter \(p\) und \(c\) durchdiskutiert. \(K\) bedeutet eine nur von \(p\) und \(c\) abhängige Konstante. Auf diesen sehr allgemeinen und reichhaltigen Sätzen mit vielen interessanten Spezialfällen (z. B. ist der bekannte Hardysche Satz ``\(\sum\left(\dfrac{a_1+\cdots+a_n}{n}\right)^p\leqq K\sum a_n^p\) für \(p>1\)'' darin enthalten) beruht dann der Beweis der beiden Hauptsätze (\S\ 3): 3. Ist \(a_n\geqq 0\), \(r\geqq p > 1\), \(q >0\)…
Mathematics Subject Classification ID: 26-XX
zbMATH DE Number: 2581476
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2581476