Untersuchungen zur Topologie der geschlossenen zweiseitigen Flächen.
Den Gegenstand der Untersuchung bilden hauptsächlich die stetigen Abbildungen der Flächen vom Geschlecht \(>1\) auf sich und das sich dabei ergebende Fixpunktproblem. Zwei Fixpunkte heißen zu einer ``Fixpunktklasse'' gehörig, wenn es einen sie verbindenden Weg gibt, der zusammen mit seinem im entgegengesetzten Sinn zu durchlaufenden Bilde eine geschlossene Kurve bildet, die homotop 0 ist. Der Index einer Fixpunktklasse ist die Summe der Indizes der Fixpunkte der Klasse, falls diese in endlicher Zahl auftreten, und ist andernfalls auch sinngemäß zu erklären. Es werden in einer großen Anzahl von Fällen die Fixpunktklassen und ihre Indizes bestimmt, und es wird gezeigt, daß in diesen Fällen die Anzahl der Fixpunktklassen mit von Null verschiedenem Index innerhalb der Abbildungsklasse, d. h. in der durch stetige Abänderung entstehenden Gesamtheit von Abbildungen, invariant ist, daß also bei stetiger Abänderung die Anzahl der Fixpunkte nicht unter die genannte Klassenzahl sinken kann. Insbesondere wird an Beispielen gezeigt, daß diese Mindestzahl \(>0\) sein kann, auch wenn die Indexsumme aller Fixpunkte, die nach der Formel von Alexander zu bestimmen ist, Null ist. Die Behandlung des ``Fixpunktproblems'' bildet den Inhalt des 4. Abschnitts. Aus der Fülle der Tatsachen, die die drei ersten Abschnitte (1. Abschn: Die universelle Überlagerungsfläche als Koordinatenfläche; 2. Abschn: Automorphismen der Fundamentalgruppe und zugehörige Transformationen des Einheitskreises in sich; 3. Abschn: Stetige Abbildungen) bilden, seien nur die folgenden hervorgehoben: Wird die universelle Überlagerungsfläche in bekannter Weise im Innern des Einheitskreises dargestellt, so läßt sich jedem Punkt des Einheitskreises eine unendliche Folge von Elementen der Fundamentalgruppe zuordnen, die als ``Randpunktentwicklung'' bezeichnet wird. -- Einem Automorphismus der Fundamentalgruppe entspricht eine topologische Abbildung des Einheitskreises auf sich. -- Eine topologische Abbildung der Fläche bewirkt einen Automorphismus der Fundamentalgruppe, also eine Abbildung des Einheitskreises auf sich; diese schließt sich stetig an die auf der universellen Überlagerungsfläche durch die Abbildung der Fläche induzierte Abbildung an.
scientific article; zbMATH DE number 2582855