Über Folgen stetiger Funktionen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über Folgen stetiger Funktionen.
zbMATH Open document ID: 53.0562.03
published in: Fundamenta Mathematicae
publication date: 1927-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/215128
review text: Es seien \((a_n)\) und \((b_n)\) zwei Folgen reeller Zahlen; man sagt nach Hausdorff, daß \((a_n) > (b_n)\) bzw. \((a_n) < (b_n)\) bzw. \((a_n) = (b_n)\) ist, wenn für alle hinreichend großen \(n\)\ \(a_n>b_n\) bzw. \(a_n < b_n\) bzw. \(a_n = b_n\) ist. (Diese drei Fälle bilden keine vollständige Disjunktion.) Verf. nennt eine Menge \({\mathfrak M}\) von Zahlenfolgen nach oben bzw. nach unten beschränkt, wenn es eine Zahlenfolge \(\alpha\) gibt, die größer (kleiner) ist als alle Elemente von \({\mathfrak M}\). Die Menge \({\mathfrak M}\) heißt halbbeschränkt, wenn es eine Zahlenfolge \(\alpha\) gibt, so daß kein Element von \({\mathfrak M}\) größer (kleiner) ist als \(\alpha\). Eine nach oben und nach unten beschränkte Folgenmenge \({\mathfrak M}\) heißt schlechtweg beschränkt. Es sei auf einer Punktmenge \(M\) (eines metrischen Raumes) eine Folge \((f_n)\) von reellen stetigen Funktionen gegeben. Als Wertebereich der Funktionenfolge \((f_n)\) auf \(M\) bezeichnet Verf. die Menge aller Zahlenfolgen \((r_n)\), für die es einen Punkt \(p\) von \(M\) gibt, so daß \((f_n(p))= (r_n)\) gilt. Verf. zeigt leicht, daß, \textit{wenn \(M\) eine kompakte abgeschlossene Menge, sogar (allgemeiner) ein absolutes \(F_{\sigma}\)} (=Vereinigungsmenge abzählbarvieler kompakter abgeschlossener Mengen) \textit{ist, jede Folge (\(f_n\)) von auf \(M\) stetigen Funktionen einen beschränkten Wertebereich hat}, und fragt nach der allgemeinsten Kategorie von Punktmengen, für welche letztere Eigenschaft noch gilt. Die vollständige Antwort auf diese Frage wird mit Hilfe folgender Definitionen gegeben: Jedes System von offenen Mengen, in deren Vereinigungsmenge \(M\) enthalten ist, heißt Überdeckung von \(M\). Ist \(\sigma_1, \sigma_2,\ldots,\sigma_n,\ldots\) eine Folge von Überdeckungen der Menge \(M\), so heißt eine Auswahlüberdeckung aus der Folge \((\sigma_n)\) eine Überdeckung, welche aus abzählbar vielen offenen Mengen \(U_1,U_2,\ldots, U_n, \ldots\) besteht, so daß \(U_n\) für jedes \(n\)…
zbMATH DE Number: 2582913
author: Witold Hurewicz
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W1018593492
DOI: 10.4064/FM-9-1-193-210
description: scientific article; zbMATH DE number 2582913