Sur certaines séries de figures d'équilibre d'un liquide hétérogène en rotation.
Das vorliegende nachgelassene Werk von Liapunov bildet die direkte Fortsetzung seiner Untersuchungen, die er unter dem Titel ``Sur les figures d'équilibre peu différentes des ellipsoïdes d'une masse liquide homogène douée d'un mouvement de rotation'' in vier Abhandlungen in den Jahren 1906, 1909, 1912, 1914 (F. d. M. 37, 718 (JFM 37.0718.*); 40, 770; 43, 806; 45, 1182) veröffentlicht hat. Der Fall einer heterogenen Flüssigkeit, der im ersten Teil des vorliegenden Buches behandelt wird, ist in den früheren Arbeiten von Liapunov nicht vollständig erörtert worden. Verf. bedient sich aber einiger Resultate dieses ersten Teiles in seiner Arbeit ``Sur une formule d'analyse'' (F. d. M. 48, 1457 (JFM 48.1457.*)). Der zweite Teil des vorliegenden Buches enthält die Anwendung der von Verf. geschaffenen Methode auf den Fall einer homogenen Flüssigkeit. Dieser Fall ist bereits in der Arbeit des Verf. ``Nouvelles considérations relatives à la théorie des figures d'équilibre dérivées des ellipsoïdes dans le cas d'un liquide homogène'' (F. d. M. 48, 1450 (JFM 48.1450.*)) enthalten. Es soll daher nur der erste Teil des Buches näher besprochen werden. Sei E ein Ellipsoid mit den Halbachsen \(\sqrt{\varrho +1}\), \(\sqrt{\varrho +q}\), \(\sqrt{\varrho}\), das zur Klasse der Jacobischen \((q < 1)\) oder Maclaurinschen \((q = 1)\) Ellipsoide gehört, und sei \(\omega\) die Winkelgeschwindigkeit um die \(z\)-Achse. Verf. sucht eine von \(E\) wenig abweichende Gleichgewichtsfigur \(F\) einer heterogenen Flüssigkeit. Für den Wert \(k\) der Dichte setzt Verf. \[ k = 1 + \delta. \varphi(a), \] wobei \(\delta\) ein kleiner Parameter, \(\varphi(a)\) eine gegebene Funktion von \(a\) und \(a\) ein Parameter ist, der die Niveauflächen definiert. Verf. macht über \(\varphi(a)\) einige Annahmen. Verf. schreibt die Gleichungen der Niveauflächen in der Form \[ \begin{aligned} &x = a(1 + \zeta)\sqrt{\varrho+1} \sin\theta \cos\psi,\\ &y = a(1 + \zeta)\sqrt{\varrho+q} \sin\theta \sin\psi,\\ &z = a(1 + \zeta)\sqrt{\varrho} \cos\theta. \tag{1} \end{aligned} \] Dabei ist \(\zeta(a, \theta, \psi)\) die gesuchte Funktion. Der Parameter \(a\) ist durch die Bedingung bestimmt, daß das von der Niveaufläche \(a\) eingeschlossene Volumen gleich dem Volumen des Ellipsoids mit den Halbachsen \(a\sqrt{\varrho+1}\), \(a\sqrt{\varrho+q}\), \(a\sqrt{\varrho}\) ist. Diese Bedingung drückt sich durch die Formel \[ \int (1 + \zeta)^3 d\sigma = 4\pi, \quad d\sigma = \sin^2 \theta d\theta d\psi \tag{2} \] aus. Die Gleichung des Problems lautet \[ U + \dfrac{\omega^2}{2f}(x^2+y^2) = \text{Funktion von}\;a; \tag{3} \] dabei bedeutet \(f\) die universelle Gravitationskonstante und \(f\). \(U\) das Potential der Flüssigkeitsmasse. Unter einigen Annahmen über \(\zeta\) kann man \(U\) in eine Reihe \[ U = \sum\limits_{k=0}^\infty U_k \] entwickeln, wobei \(U_k\) in bezug auf \(\zeta\) und \(\dfrac{\partial\zeta}{\partial a}\) homogen vom Grade \(k\) ist. Wenn man \(\delta\) heraussetzt, erhält man \[ U_k = V_k + \delta\Phi_k. \] Die unbekannte Funktion \(\zeta\) nimmt Verf. in der Gestalt \[ \zeta = \sum\limits_{i=1}^\infty \zeta_i\delta^i \tag{4} \] an. Sei \[ \bar\zeta_i(\theta,\psi) = \zeta_i(1, \theta, \psi). \] \(D(a, a')\) der Abstand der beiden Punkte \((a, \theta, \psi)\) und \((a', \theta', \psi')\) gemäß (1) für \(\zeta=0\), \[ \Delta(t) = \sqrt{t(t+q)(t+1)}, \quad R = \dfrac{\varrho}{2} \int_\varrho^\infty \dfrac{dt}{t\Delta(t)} \] und \(r'\) die positive Wurzel der Gleichung \[ \dfrac{\varrho+1}{r'+1} \sin^2\theta' \cos^2 \psi' + \dfrac{\varrho+q}{r'+q} \sin^2\theta' \sin^2 \psi' + \dfrac{\varrho}{r'} \cos^2\theta' = a^2. \] Verf. bringt (3) auf die Gestalt \[ R\zeta_i - \dfrac{1}{4\pi a^2} \int \bar\zeta_i(\theta', \psi') \bigg\{\dfrac{1}{D(a,1)}-\dfrac{1}{2a} \int_{\tau'}^\infty \dfrac{dt}{\Delta(t)}\bigg\} d\sigma' = P_i; \tag{5} \] dabei hängt \(P_i\) nur von den Funktionen \(\zeta_1, \zeta_2, \ldots, \zeta_{i-1}\) ab. Wenn diese Funktionen bekannt sind, kann man in (5) \(a = 1\) setzen, und man erhält \[ R\bar\zeta_i - \dfrac{1}{4\pi} \int \dfrac{\bar\zeta_i(\theta', \psi')}{D(1, 1)} d\sigma' = \bar P_i + \operatorname{const.}, \tag{6} \] d. h. die in den oben genannten Arbeiten betrachtete Gleichung. Bei der Behandlung dieser Gleichung setzt Verf. voraus, daß \(E\) nicht zu einer Klasse isolierter Ellipsoide gehört, die in den oben genannten Arbeiten vorgekommen ist. Aus \(\bar\zeta_i\) erhält man nach (5) \(\zeta_i\), und man muß noch berücksichtigen, daß \(\zeta_i\) für \(a = 0\) endlich ist. Dieser sukzessive Bestimmungsprozeß für die \(\zeta_i\) liefert bei kleinem \(\delta\) die Lösung des Problems. Bei der Durchführung der Rechnungen schließt Verf., daß alle \(\zeta\) Reihen der Form \(\sum\limits_{n=1}^{\infty} Z_{2n}\) sind. wobei \(Z_i\) eine Kugelfunktion der Ordnung \(i\) ist. Er berücksichtigt dabei \[ |Z_{2n}| < Lp^{2n}. \] Es bedeutet hier \(L\) eine Konstante und \(p\) irgend eine Zahl \(> \dfrac{1}{\sqrt{\varrho+1}}\). Verf. untersucht ferner des genaueren die Entwicklungen der \(\zeta_i\) nach den Kugelfunktionen, indem er, was ja erlaubt ist, annimmt, daß sie gerade Funktionen von \(\cos \theta\) und \(\sin\theta\cos\psi\) sind. Zu diesem Zweck transformiert er die Fundamentalgleichung für \(y\), indem er an Stelle von \(\zeta\) eine neue Funktion \[ \xi = \dfrac{1}{a^2} \sum_{i=1}^\infty \dfrac{(-1)^{i-1}}{i!} \dfrac{\partial^{i-1} (a^{i+1}\zeta^i)}{\partial a^{i-1}} \] einführt. Die Lösung dieser Gleichung nach \(\zeta\) geschieht mittels der Lagrangeschen Formel. Für den Fall, daß \(\varphi(a)\) ein Polynom vom Grade \(k\) in \(a^2\) ist, beweist Verf., daß jedes \(\zeta\) die Form \[ \zeta_i = Z_0 + Z_2 + \cdots + Z_{2(ik+i)} \] hat; dabei sind die \(Z_{2m}\) Polynome vorn Grade \(mk\) in \(a^2\) und \(Z_{2i+2}, Z_{2i+4}, \ldots, Z_{2(ik+i)}\) durch \(a^2, a^4, \ldots, a^{2ik}\) teilbar. Bei diesem Satz wird die Bedingung (2) durch eine allgemeinere Bedingung ersetzt.
scientific article; zbMATH DE number 2584078