Mean-value theorems in the theory of the Riemann Zeta-function.
Das erste der beiden Ergebnisse der Arbeit bezieht sich auf die Integrale \[ J_{\mu,\nu}(T; \alpha,\beta) = \int_1^T \zeta^{(\mu)}(\alpha + it)\cdot \zeta^{(\nu)}(\beta -it)\,dt, \] wo \(\alpha\) und \(\beta\) beliebig reell oder komplex, \(T\) reell und \(> 1\), \(\mu\) und \(\nu\) positiv und ganz und \(\zeta^{(\lambda)}(s)\) die \(\lambda\)-te Ableitung von \(\zeta(s)\) ist. Der Verf. beweist einen über ältere Resultate von Hadamard, Landau und Schnee hinausgehenden Satz, der in dem von Hardy und Littlewood (1921, 1922; F. d. M. 48; 344-346, 1163) näher untersuchten Fall \(\alpha = \beta\), \(\mu=\nu=0\) gleichmäßig in einem beschränkten Intervall für \(\alpha\) \[ J_{0,0}(T;\alpha,\alpha) = L_\alpha(T) + O((T^{1-2\alpha} + T^{1-\alpha}+1)(\log T)^2) \] liefert, was mehr ist als die bisherigen Abschätzungen. \(L_\alpha(T)\) bedeutet die schon von Littlewood eingeführte Funktion \[ L_\alpha(T) = \zeta(2\alpha)t + (2\pi)^{2\alpha-1}\zeta(22\alpha)\frac{t^{2-2\alpha}-1}{2-2\alpha}. \] Beim Beweis benutzt der Verf. ähnlich wie Littlewood eine mit der Hardy-Littlewoodschen ``approximate functional equation'' zusammenhängende Integraldarstellung der Zetafunktion. Im zweiten Teil der Arbeit beschäftigt sich der Verf. mit dem Integral \[ J(\sigma) = \int_0^T|\zeta(\sigma + it)|^4\,dt, \] das von Hardy und Littlewood (loc. cit.) und Carlson allgemein für \(\sigma \geqq \frac 12\) untersucht wurde. Der Verf. betrachtet nur \(\sigma =\frac 12\) und zeigt: \[ J\left(\frac 12\right)= \frac 1{2\pi^2} T (\log T)^4+O(T(\log T)^3). \] Bei dem ähnlich wie bei Hardy und Littlewood verlaufenden Beweis wird insbesondere ein Analogon der ``approximate functional equation'' für \((\zeta(s))^2\) benutzt. (Siehe auch Abschn. II, Kap. 8.)
scientific article; zbMATH DE number 2581924