Über analytische Funktionen mehrerer Veränderlicher. II: Natürliche Grenzen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über analytische Funktionen mehrerer Veränderlicher. II: Natürliche Grenzen.
zbMATH Open document ID: 53.0314.03
DOI: 10.1007/BF02952528
published in: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg
publication date: 1927-01-01T00:00:00Z
review text: \(z = x + iy\), \(w = u + iv\) seien zwei komplexe Variable. Die Hyperfläche \(\varphi(w, \overline w; z, \overline z)=0\), wo \(\varphi\) stetige partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung besitzt, kann nach E. E. Levi (F. d. M. 41, 487 (JFM 41.0487.*); 42, 449) nur dann natürliche Grenze für eine in \(\varphi > 0\) reguläre analytische Funktion der beiden komplexen Veränderlichen sein, wenn \(\varphi\) pseudokonvex von der Seite \(\varphi > 0\) ist, d. h. wenn \[ \left| \begin{matrix} \quad & \quad & \\ 0 & \dfrac{\partial \varphi}{\partial w} & \dfrac{\partial \varphi}{\partial z}\\ \\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial \overline w} & \dfrac{\partial^2\varphi}{\partial w\partial \overline w} & \dfrac{\partial^2\varphi}{\partial z \partial \overline w} \\ \\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial \overline z} & \dfrac{\partial^2\varphi}{\partial w \partial \overline z} & \dfrac{\partial^2\varphi}{\partial z \partial \overline z} \end{matrix} \right| \geqq 0 \] ist. Der Verf. behandelt die bisher nur im kleinen entschiedene Frage, inwieweit diese Bedingung hinreichend ist. Er zeigt u. a., daß dies der Fall ist für Kreiskörper, die einen hinreichend glatten Rand haben. Kreiskörper heißt dabei ein Körper, der von jeder analytischen Ebene durch den Koordinatenanfang in einem Kreis geschnitten ist. Man kann die Gleichung seines Randes also so schreiben: \[ |z|=R(s), \] wo \(s = \dfrac wz\) die komplexe Winkelvariable ist. Die vom Verf. ausführlich behandelte Bedingung hinreichender Glätte des Randes ist z. B. erfüllt, wenn für endliche \(s\) die Funktion \(R(s)\) stetige Ableitungen zweiter Ordnung und wenn für \(s \to \infty\) noch \(|s|R(s) = \overline R(s')\), \(s' = \dfrac 1s\) diese Eigenschaft besitzt.
zbMATH DE Number: 2581929
reviewed by: L. Prof. Bieberbach
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02952528
OpenAlex ID: W2329897677
author: Heinrich Behnke
description: scientific article; zbMATH DE number 2581929