Über analytische Funktionen mehrerer Veränderlicher. II: Natürliche Grenzen.
\(z = x + iy\), \(w = u + iv\) seien zwei komplexe Variable. Die Hyperfläche \(\varphi(w, \overline w; z, \overline z)=0\), wo \(\varphi\) stetige partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung besitzt, kann nach E. E. Levi (F. d. M. 41, 487 (JFM 41.0487.*); 42, 449) nur dann natürliche Grenze für eine in \(\varphi > 0\) reguläre analytische Funktion der beiden komplexen Veränderlichen sein, wenn \(\varphi\) pseudokonvex von der Seite \(\varphi > 0\) ist, d. h. wenn \[ \left| \begin{matrix} \quad & \quad & \\ 0 & \dfrac{\partial \varphi}{\partial w} & \dfrac{\partial \varphi}{\partial z}\\ \\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial \overline w} & \dfrac{\partial^2\varphi}{\partial w\partial \overline w} & \dfrac{\partial^2\varphi}{\partial z \partial \overline w} \\ \\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial \overline z} & \dfrac{\partial^2\varphi}{\partial w \partial \overline z} & \dfrac{\partial^2\varphi}{\partial z \partial \overline z} \end{matrix} \right| \geqq 0 \] ist. Der Verf. behandelt die bisher nur im kleinen entschiedene Frage, inwieweit diese Bedingung hinreichend ist. Er zeigt u. a., daß dies der Fall ist für Kreiskörper, die einen hinreichend glatten Rand haben. Kreiskörper heißt dabei ein Körper, der von jeder analytischen Ebene durch den Koordinatenanfang in einem Kreis geschnitten ist. Man kann die Gleichung seines Randes also so schreiben: \[ |z|=R(s), \] wo \(s = \dfrac wz\) die komplexe Winkelvariable ist. Die vom Verf. ausführlich behandelte Bedingung hinreichender Glätte des Randes ist z. B. erfüllt, wenn für endliche \(s\) die Funktion \(R(s)\) stetige Ableitungen zweiter Ordnung und wenn für \(s \to \infty\) noch \(|s|R(s) = \overline R(s')\), \(s' = \dfrac 1s\) diese Eigenschaft besitzt.
scientific article; zbMATH DE number 2581929