Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann. I, II.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sur une classe remarquable d'espaces de Riemann. I, II.
zbMATH Open document ID: 53.0390.01
publication date: 1926-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/86508
review text: In einer früheren Arbeit (Proceedings Amsterdam 29 (1926), 11-13; F. d. M. 52) hat Verf. gemeinsam mit J. A. Schouten die Riemannschen Maßbestimmungen festgestellt, die in jeder Richtung Translationen längs geodätischer Linien zulassen. Die Parallelverschiebung läßt in diesen Räumen die Krümmung, die zu einem zweidimensionalen Element gehört, also auch den Krümmungstensor invariant. In der vorliegenden Arbeit stellt Verf. alle Räume \(\mathfrak E\) mit dieser letzten Eigenschaft auf. Das geschieht auf einem gruppentheoretischen Wege, der vielfach dem der erstgenannten Arbeit ähnelt. Entsprechend der größeren Allgemeinheit der Fragestellung ist der Weg umständlicher; die Ergebnisse sind um so schöner. Die von Harry Levy (Rendiconti Accad. d. L. Roma (6) 3 (1926), 65-69; F. d. M. 52) über dieselbe Fragestellung angestellten Überlegungen sind unrichtig; die Note Cartans in demselben Bande (544-547) umreißt den Gedankengang der vorliegenden Arbeit. Die gruppentheoretischen Erörterungen der Arbeit beziehen sich auf die Holonomiegruppe, d. h. die Gruppe der (im wesentlichen) orthogonalen Transformationen, die der Vektorkörper eines Punktes bei Parallelverschiebungen längs zusammenziehbarer Kurven erleidet, und auf die Bewegungsgruppe (groupe des déplacements), d. h. die kontinuierliche Gruppe der Punkttransformationen, die die Maßbestimmung ungeändert lassen; schließlich auf die Isotropiegruppe (die im allgemeinen gemischt ist), deren Transformationen einen Punkt und die Maßbestimmung fest lassen. Die Holonomiegruppen aller Punkte sind einander ähnlich, desgleichen die Isotropiegruppen. Es genügt, sich auf reell irreduzible Räume zu beschränken (\(ds^2=\sum g_{ik}dx^idx^k+\sum h_{\varrho\sigma}dy^\varrho dy^\sigma\) bedeutet Reduzibilität). Notwendig und hinreichend für die Irreduzibilität der Maßbestimmung ist die der Holonomiegruppe. Verf. stellt ein Pfaffsches System auf, das das \(ds^2\), den Krümmungstensor und die infinitesimalen Transformationen der Holonomiegruppe…
zbMATH DE Number: 2582167
reviewed by: H. Dr. Freudenthal
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2261622188
DOI: 10.24033/BSMF.1105
published in: Bulletin de la Société mathématique de France
author: Élie Cartan
description: scientific article; zbMATH DE number 2582167