Sopra una classe di equazioni algebriche contenenti linearmente un parametro e risolubili per radicali.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Sopra una classe di equazioni algebriche contenenti linearmente un parametro e risolubili per radicali.
zbMATH Open document ID: 52.0653.01
DOI: 10.1007/BF03014727
published in: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
publication date: 1926-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. stellt sich die Frage, wann in einer \(g^1_m\) mit beliebigem \(n\), die durch die Gleichung \[ f(x,t) = P(x)-t\cdot Q(x) = 0 \tag{1} \] gegeben sei, alle Punkte einer Gruppe sich durch irgendzwei dieser \(n\) Punkte rational ausdrücken lassen. Aus der genannten Forderung (a) ergibt sich, daß die transitive Monodromiegruppe \(\mathfrak G\) der Gleichung (1) die Klasse \(n-1\) hat. Ist \(\nu\) die Ordnung der Untergruppen, die ein Symbol festlassen, dann besteht also die Gruppe aus 1. der Identität, 2. \((\nu-1)n\) Substitutionen vom Grad \(n-1\), 3. \(n-1\) Substitutionen vom Grad \(n\), die mit der Identität eine invariante Untergruppe bilden. Für eine Ausgangsgleichung \(f(x,t)\) von beliebigem Geschlecht \(p\), die nur der Forderung (a) genügt, also eine Gruppe \(\mathfrak G\) hat, betrachte man die \textit{Galois}sche Resolvente \(F(x,t)\), deren Gruppe zu \(\mathfrak G\) isomorph ist. Die zu \(F\) gehörige \(g^1_m\) (\(m = n\nu\)) ist aus zwei Involutionen \(\gamma_{\nu}^1\) und \(\gamma^1_{n}\) zusammengesetzt. Es ergeben sich die folgenden Beziehungen zwischen dem Geschlecht \(p\) der algebraischen Kurve \(f\), dem Geschlecht \(p_1\) der algebraischen Kurve \(F\) und dem Geschlecht \(\pi\) der Involution \(g^1_n\): \[ \begin{aligned} & 2p_1-2 = 2\pi-2+2\nu p,\\ & 2\pi-2 = \frac{\nu(2p-r)}{n-1}; \end{aligned} \] dabei ist \(r\) definiert durch die Gleichung \(\delta=\nu\cdot r\), wo \(\delta\) die Anzahl der mehrfachen Punkte der Involution bezeichnet. Geht man nun auf die Gleichung (1), also den Fall \(p=0\) zurück, so erhält man entweder \[ p_1 = \pi = 0 \quad\text{oder}\quad p_1 = \pi = 1. \] Die Resolvente ist also entweder eine rationale oder eine elliptische Kurve. Durch Diskussion der Kurven \(f\) und der zugehörigen Kurven \(F\) ergibt sich der folgende Satz: Notwendig und hinreichend dafür, daß in einer \(g_n^1\) alle Punkte einer Gruppe sich durch irgend zwei unter ihnen rational darstellen lassen, ist, daß die Gruppen, die mehrfache Punkte der…
zbMATH DE Number: 2587956
MaRDI profile type: Publication
cites work: Q4756777
author: Oscar Zariski
description: scientific article; zbMATH DE number 2587956