Sopra una classe di equazioni algebriche contenenti linearmente un parametro e risolubili per radicali.
Verf. stellt sich die Frage, wann in einer \(g^1_m\) mit beliebigem \(n\), die durch die Gleichung \[ f(x,t) = P(x)-t\cdot Q(x) = 0 \tag{1} \] gegeben sei, alle Punkte einer Gruppe sich durch irgendzwei dieser \(n\) Punkte rational ausdrücken lassen. Aus der genannten Forderung (a) ergibt sich, daß die transitive Monodromiegruppe \(\mathfrak G\) der Gleichung (1) die Klasse \(n-1\) hat. Ist \(\nu\) die Ordnung der Untergruppen, die ein Symbol festlassen, dann besteht also die Gruppe aus 1. der Identität, 2. \((\nu-1)n\) Substitutionen vom Grad \(n-1\), 3. \(n-1\) Substitutionen vom Grad \(n\), die mit der Identität eine invariante Untergruppe bilden. Für eine Ausgangsgleichung \(f(x,t)\) von beliebigem Geschlecht \(p\), die nur der Forderung (a) genügt, also eine Gruppe \(\mathfrak G\) hat, betrachte man die \textit{Galois}sche Resolvente \(F(x,t)\), deren Gruppe zu \(\mathfrak G\) isomorph ist. Die zu \(F\) gehörige \(g^1_m\) (\(m = n\nu\)) ist aus zwei Involutionen \(\gamma_{\nu}^1\) und \(\gamma^1_{n}\) zusammengesetzt. Es ergeben sich die folgenden Beziehungen zwischen dem Geschlecht \(p\) der algebraischen Kurve \(f\), dem Geschlecht \(p_1\) der algebraischen Kurve \(F\) und dem Geschlecht \(\pi\) der Involution \(g^1_n\): \[ \begin{aligned} & 2p_1-2 = 2\pi-2+2\nu p,\\ & 2\pi-2 = \frac{\nu(2p-r)}{n-1}; \end{aligned} \] dabei ist \(r\) definiert durch die Gleichung \(\delta=\nu\cdot r\), wo \(\delta\) die Anzahl der mehrfachen Punkte der Involution bezeichnet. Geht man nun auf die Gleichung (1), also den Fall \(p=0\) zurück, so erhält man entweder \[ p_1 = \pi = 0 \quad\text{oder}\quad p_1 = \pi = 1. \] Die Resolvente ist also entweder eine rationale oder eine elliptische Kurve. Durch Diskussion der Kurven \(f\) und der zugehörigen Kurven \(F\) ergibt sich der folgende Satz: Notwendig und hinreichend dafür, daß in einer \(g_n^1\) alle Punkte einer Gruppe sich durch irgend zwei unter ihnen rational darstellen lassen, ist, daß die Gruppen, die mehrfache Punkte der \(g_n^1\) enthalten, sich in einer der folgenden sechs Arten darstellen lassen: (1) Eine Gruppe besteht aus einem \(n\)-fachen Punkt, und zwei Gruppen bestehen je aus \(\dfrac{n-1}2\) Doppelpunkten und aus einem einfachen Punkt, (2) vier Gruppen bestehen je aus \(\dfrac{n-1}2\) Doppelpunkten und einem einfachen Punkt, (3) zwei Gruppen bestehen je aus \(\dfrac{n-1}4\) vierfachen Punkten und einem einfachen Punkt, eine Gruppe besteht aus \(\dfrac{n-1}2\) Doppelpunkten und einem einfachen Punkt, (4) drei Gruppen bestehen je aus \(\dfrac{n-1}3\) dreifachen Punkten und einem einfachen Punkt, (5) eine Gruppe besteht aus \(\dfrac{n-1}6\) sechsfachen Punkten und einem einfachen Punkt, eine Gruppe aus \(\dfrac{n-1}3\) dreifachen Punkten und einem einfachen Punkt, eine Gruppe besteht aus \(\dfrac{n-1}2\) Doppelpunkten und einem einfachen Punkt, (6) für \(n=4\): zwei Gruppen bestehen aus je einem dreifachen und einem einfachen Punkt und eine Gruppe aus zwei Doppelpunkten. Da alle diese sechs Typen durch Radikale auflösbar sind, erhält man: Eine hinreichende Bedingung dafür, daß eine \(g_n^1\) durch Radikale auflösbar sei, ist, daß alle Punkte einer Gruppe sich rational durch irgend zwei von ihnen ausdrücken lassen. (II 3.)
scientific article; zbMATH DE number 2587956