Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl und Funktionenkörpern.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Abstrakter Aufbau der Idealtheorie in algebraischen Zahl und Funktionenkörpern.
zbMATH Open document ID: 52.0130.01
DOI: 10.1007/BF01209152
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1926-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/159155
review text: Die Zerlegungssätze der Idealtheorie in kommutativen Ringen, die dem Satz von der eindeutigen Zerlegung einer ganzen Zahl in Primzahlpotenzfaktoren entsprechen, sind von der Verf. in der Arbeit ``Idealtheorie in Ringbereichen'' (1921; F. d. M. 48, 121 (JFM 48.0121.*)) untersucht worden. Diese Fragestellung wird hier von einem anderen Standpunkt aus wieder aufgenommen: Es handelt sich um die axiomatische Charakterisierung derjenigen kommutativen Ringe, in denen der Satz von der eindeutigen Darstellung eines vom Nullideal verschiedenen Ideals als Produkt von Primidealpotenzen gilt. Übrigens ist diese Arbeit insofern von der früheren unabhängig, als die Grundbegriffe und Hilfsmittel in der Arbeit selbst entwickelt werden. Das Axiomensystem für kommutative Ringe der genannten Art lautet: I. Gültigkeit des Teilerkettensatzes: Jede Kette von Idealen, in der jedes Ideal echter Teiler des vorhergehenden ist, bricht im Endlichen ab. II. Gültigkeit des Vielfachenkettensatzes modulo jedes vom Nullideal verschiedenen Ideals: Jede Kette von Idealen, in der jedes Ideal echtes Vielfaches des vorangehenden ist und alle Ideale Teiler eines festen vom Nullideal verschiedenen Ideals sind, bricht im Endlichen ab. III. Existenz eines Einheitselements der Multiplikation. IV. Nichtexistenz von Nullteilern. V. Ganze Abgeschlossenheit des Ringes in seinem Quotientenkörper. I und II zusammen -- dabei II ohne Beschränkung auf vom Nullideal verschiedene Ideale -- werden als Doppelkettensatz bezeichnet. Zunächst wird -- im Anschluß an \textit{Dedekind} -- für einen Ring \(\mathfrak T\) ohne Nullteiler und mit Einheitselement (Axiom III und IV) die Theorie der ganzen Größen in Bezug auf einen Unterring \(\mathfrak R\) entwickelt (\(\S\) 1). Unter Voraussetzung des Teilerkettensatzes für \(\mathfrak R\) (Axiom I) und der ganzen Abgeschlossenheit von \(\mathfrak R\) in \(\mathfrak T\) ergibt sich schließlich die \textit{Dedekind}sche Folgerung I: Zu jedem nicht-ganzen Element \(\beta\) aus \(\math…
zbMATH DE Number: 2585760
reviewed by: Erika Dr. Pannwitz
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q56138533
author: Emmy Noether
description: scientific article; zbMATH DE number 2585760