Über eine Klasse linearer diophantischer Approximationen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über eine Klasse linearer diophantischer Approximationen.
zbMATH Open document ID: 52.0183.01
DOI: 10.1007/BF03014726
author: A. Khinchin
published in: Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo
publication date: 1926-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. behandelt eine Reihe von Problemen aus der Theorie der diophantischen Approximationen. Zuerst wirft er folgende Frage auf: Für jede irrationale Zahl \(\;\) und jedes \(t<0\) kann bekanntlich die Ungleichung \[ |\,q\vartheta -p\,|<\frac {1}{t} \tag{1} \] durch ganze \(q > 0\), \(p\) derart befriedigt werden, daß \(q<[t]+1\) ist. Kann für geeignet gewählte die Ungleichung (1) durch eine schärfere (\(q< Ct^\alpha \), \(\alpha < 1\)) ersetzt werden? Verf. beweist unter Benutzung von Kettenbrüchen, daß dies nicht möglich ist. Im mehrdimensionalen Fall gilt bekanntlich: Für jedes \(t > 0\) können ganze \(q > 0\), \(p\), \(r\) derart bestimmt werden, daß \[ |\,q\vartheta _1-p\,|<\frac {1}{t},\;\;|q\vartheta _2-r|<\frac {1}{t},\;\;q\leqq \{ [t]+1\} ^2 \tag{2} \] ist. Im Gegensatz zum eindimensionalen Fall beweist Verf., daß bei geeigneten Zahlen \(\vartheta _1\), \(\vartheta _2\), \(q<t\psi (t)\) gemacht werden kann, wo \(\psi (t)\) eine (beliebig langsam) mit \(t\) ins Unendliche wachsende, positive, stetige Funktion ist. Nach diesen homogenen behandelt Verf. inhomogene Fälle und beweist zunächst den folgenden Satz, der die Verschärfung einer \textit{Hardy-Littlewood}schen Vermutung darstellt (1914; F. d. M. 45, 305 (JFM 45.0305.*)-308, insbesondere S. 175 der dort besprochenen Arbeit): Es sei \(\varphi (t)\) eine positive, stetige, beständig zunehmende Funktion des positiven Arguments \(t\), und \(\varphi (t)\to \infty \) für \(t\to \infty \). Dann gibt es ein Paar reeller Zahlen \(\vartheta \) und \(\alpha \) derart, daß die Ungleichungen \[ |\,q\vartheta -p-\alpha \,|<\frac {1}{t},\;\;q< \varphi (t) \tag{3} \] \textit{nicht} für alle großen t durch ganze \(q > 0\), \(p\) erfüllt werden können. Nachdem Verf. noch ein weiteres hierher gehöriges Problem behandelt hat, wendet er sich der Untersuchung des mehrdimensionalen inhomogenen Falles zu und widerlegt zunächst die folgende Vermutung von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} (1. c. S. 178): Es gibt eine absolute…
zbMATH DE Number: 2585997
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf03014726
OpenAlex ID: W1980233954
description: scientific article; zbMATH DE number 2585997