Über eine Klasse linearer diophantischer Approximationen.
Verf. behandelt eine Reihe von Problemen aus der Theorie der diophantischen Approximationen. Zuerst wirft er folgende Frage auf: Für jede irrationale Zahl \(\;\) und jedes \(t<0\) kann bekanntlich die Ungleichung \[ |\,q\vartheta -p\,|<\frac {1}{t} \tag{1} \] durch ganze \(q > 0\), \(p\) derart befriedigt werden, daß \(q<[t]+1\) ist. Kann für geeignet gewählte die Ungleichung (1) durch eine schärfere (\(q< Ct^\alpha \), \(\alpha < 1\)) ersetzt werden? Verf. beweist unter Benutzung von Kettenbrüchen, daß dies nicht möglich ist. Im mehrdimensionalen Fall gilt bekanntlich: Für jedes \(t > 0\) können ganze \(q > 0\), \(p\), \(r\) derart bestimmt werden, daß \[ |\,q\vartheta _1-p\,|<\frac {1}{t},\;\;|q\vartheta _2-r|<\frac {1}{t},\;\;q\leqq \{ [t]+1\} ^2 \tag{2} \] ist. Im Gegensatz zum eindimensionalen Fall beweist Verf., daß bei geeigneten Zahlen \(\vartheta _1\), \(\vartheta _2\), \(q<t\psi (t)\) gemacht werden kann, wo \(\psi (t)\) eine (beliebig langsam) mit \(t\) ins Unendliche wachsende, positive, stetige Funktion ist. Nach diesen homogenen behandelt Verf. inhomogene Fälle und beweist zunächst den folgenden Satz, der die Verschärfung einer \textit{Hardy-Littlewood}schen Vermutung darstellt (1914; F. d. M. 45, 305 (JFM 45.0305.*)-308, insbesondere S. 175 der dort besprochenen Arbeit): Es sei \(\varphi (t)\) eine positive, stetige, beständig zunehmende Funktion des positiven Arguments \(t\), und \(\varphi (t)\to \infty \) für \(t\to \infty \). Dann gibt es ein Paar reeller Zahlen \(\vartheta \) und \(\alpha \) derart, daß die Ungleichungen \[ |\,q\vartheta -p-\alpha \,|<\frac {1}{t},\;\;q< \varphi (t) \tag{3} \] \textit{nicht} für alle großen t durch ganze \(q > 0\), \(p\) erfüllt werden können. Nachdem Verf. noch ein weiteres hierher gehöriges Problem behandelt hat, wendet er sich der Untersuchung des mehrdimensionalen inhomogenen Falles zu und widerlegt zunächst die folgende Vermutung von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} (1. c. S. 178): Es gibt eine absolute Konstante c derart, daß die Ungleichungen \[ |\,q\vartheta _\nu -p-\alpha _\nu \,|<\frac {c}{\sqrt q},\quad (\nu =1,2) \tag{4} \] unendlich viele Lösungen in ganzen \(q > 0\), \(p\), \(r\) haben, wenn \(\vartheta _1\) und \(\vartheta _2\) linear unabhängig, \(\alpha _1\) und \(\alpha _2\) dagegen ganz beliebig reell sind, und zeigt darüber hinaus, daß die Vermutung falsch bleibt, wenn man in ihr \(\sqrt q\) durch eine beliebig langsam ins Unendliche wachsende Funktion \(\psi (q)\) ersetzt. Zum Schluß beschäftigt sich Verf. mit dem Zusammenhang zwischen dem Problem der simultanen Approximation von \(n\) Irrationalzahlen \(\vartheta _1,\ldots,\vartheta _n\) mittels rationaler Brüche einerseits und der Auffindung von \(n+1\) Zahlen \(x_1,\ldots,x_n, x_{n+1}\) welche den Absolutbetrag von \(f=\vartheta _1x_1+\cdots +\vartheta _nx_n+x_{n+1}\) möglichst klein machen, andrerseits.
scientific article; zbMATH DE number 2585997