Reihensummierung durch Abschnittskoppelungen. I.
\((\lambda_n)\) sei eine im engeren Sinn monoton gegen \(+ \infty\) strebende Zahlenfolge, \(\varphi(y)\) eine in \(0 \leqq y < 1\) definierte Funktion. Die Reihe \(\sum\limits_0^\infty a_n\) heißt nach dem \(V\)-Verfahren summierbar zum Werte \(s\), wenn mit reellem \(x \to + \infty\) \[ V(x)=\sum_{\lambda_n<x} a_n\varphi \left(\frac{\lambda_n}x\right) \to S \] strebt. Über den Zusammenhang gewisser derartiger Verfahren mit dem für \(\varphi(y) = (1 -y)^\varkappa\) sich ergebenden \textit{Riesz}schen Verfahren \(\varkappa\)-ter Ordnung (\(\varkappa \geqq 0\)), das kurz \(R_\varkappa\)-Verfahren genannt wird, beweist Verf. folgenden Satz: Voraussetzung: \ \ \ 1. \(\varphi(y) = \sum\limits_{\nu=0}^\infty \alpha_\nu(1y)^{\varkappa+\nu} \quad (\varkappa \geqq 0\) ganz, \(\alpha_0 \neq 0)\) \ \ \ 2. \(\sum|\alpha_\nu|\) konvergent. Behauptung: \ \ \ A. Aus \(R_\varkappa(x) = \sum\limits_{\lambda_n<x} a_n\left(1 \frac{\lambda_n}x\right)^\varkappa \to S\) folgt \(V(x) \to S \cdot \varphi(0)\). \ \ \ B. Aus \(V(x) \to C\) und \(R_\mu(x) \to S\) für irgendein festes \(\mu\geqq 0\) folgt \[ C = S \cdot \varphi(0) \quad \text{und} \quad R_\varkappa(x) \to S. \] Wenn \(\varphi(0) = 1\), und wenn \(\sum a_n\) von irgendeiner Ordnung \(R\)-summierbar ist, so folgt aus diesem Satze die Äquivalenz des \(V\)- mit dem \(R_\varkappa\)-Verfahren. Man spricht in einem solchen Falle von ``bedingter Äquivalenz'' der beiden, und man bezeichnet das Bestehen einer Beziehung \[ V(x) \to S\varphi(0) \] im Sinne des Satzes als für das \(R_\varkappa\)-Verfahren ``bedingt charakteristisch''. Durch Wahl der Funktion \(\varphi(y)\) wird eine große Zahl schöner Beziehungen zwischen den Werten \(V(x)\) und den Abschnitten \(A_x\left(\dfrac {c_i}{x}\right)=\sum\limits_{\lambda_n<x} a_ne^{-\lambda_n\frac {c_i}x}\) gewisser \textit{Dirichlet}scher Reihen, bzw. den Kopplungen \(\sum\limits_{i=1}^{\varkappa+1} \alpha_i A_x\left(\dfrac {c_i}{x}\right)\) solcher Abschnitte bewiesen; z. B. ist das durch \(\varphi(0) = 1\) normierte Verfahren \[ V(x)=\alpha_1A_x\left(\dfrac{c_1}{x}\right)+\alpha_2A_x \left(\dfrac {c_2}{x}\right) \] nur für \[ \alpha_1 = \frac{e^{c_1}}{e^{c_1}-e^{c_2}}, \quad \alpha_2 = \frac{e^{c_3}}{e^{c_1}-e^{c_3}}, \quad (c_1\not\equiv c_2 {\pmod {2\pi i}}) \] mit dem \(R_1\)-Verfahren, sonst aber mit Konvergenz bedingt äquivalent, und die Beziehung \[ A_x \left(\dfrac{c_1}{x}\right)-A_x\left(\dfrac{c_2}{x}\right) \to 0 \] ist nur, wenn \(a_1 \equiv a_2 \pmod {2\pi i}\), für die \(R_1\)-Summierbarkeit, sonst aber für Konvergenz bedingt charakteristisch. Diese sowie die für \((x+1)\)-fache Abschnittskopplungen gewonnenen Resultate werden auf trigonometrische Reihen \[ \sum_{n=0}^\infty (a_n \cos \lambda_nt +b_n \sin \lambda_n t) \] übertragen und deren \(R\)-Summierbarkeit (für \(\lambda_n= n\) auch \textit{Cesàro}-Summierbarkeit) in Verbindung gebracht mit der Konvergenz von entsprechenden Abschnittskopplungen solcher Reihen. Zum Schluß wird sehr einfach aus dem Hauptsatz der Arbeit der \textit{Hardy}sche \textit{O-R-K}-Satz (Proceedings L. M. S. (2) 12 (1913); 174-180; F. d. M. 44, 283) gefolgert, allerdings unter der einschränkenden Voraussetzung \(\dfrac{\lambda_n}{\lambda_{n-1}}\to 1\): Wenn \(\sum a_n\) \(R\)-summierbar zum Werte \(s\) sowie \(a_n=O\left(\dfrac{\lambda_n-\lambda_{n-1}}{\lambda_n}\right)\) ist und wenn \(\dfrac{\lambda_n}{\lambda_{n-1}}\to 1\) strebt, so konvergiert \(\sum a_n\) zum Werte \(s\). (IV 3 D.)
scientific article; zbMATH DE number 2586113