Reihensummierung durch Abschnittskoppelungen. I.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Reihensummierung durch Abschnittskoppelungen. I.
zbMATH Open document ID: 52.0219.01
DOI: 10.1007/BF01283830
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1926-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/167872
review text: \((\lambda_n)\) sei eine im engeren Sinn monoton gegen \(+ \infty\) strebende Zahlenfolge, \(\varphi(y)\) eine in \(0 \leqq y < 1\) definierte Funktion. Die Reihe \(\sum\limits_0^\infty a_n\) heißt nach dem \(V\)-Verfahren summierbar zum Werte \(s\), wenn mit reellem \(x \to + \infty\) \[ V(x)=\sum_{\lambda_n<x} a_n\varphi \left(\frac{\lambda_n}x\right) \to S \] strebt. Über den Zusammenhang gewisser derartiger Verfahren mit dem für \(\varphi(y) = (1 -y)^\varkappa\) sich ergebenden \textit{Riesz}schen Verfahren \(\varkappa\)-ter Ordnung (\(\varkappa \geqq 0\)), das kurz \(R_\varkappa\)-Verfahren genannt wird, beweist Verf. folgenden Satz: Voraussetzung: \ \ \ 1. \(\varphi(y) = \sum\limits_{\nu=0}^\infty \alpha_\nu(1y)^{\varkappa+\nu} \quad (\varkappa \geqq 0\) ganz, \(\alpha_0 \neq 0)\) \ \ \ 2. \(\sum|\alpha_\nu|\) konvergent. Behauptung: \ \ \ A. Aus \(R_\varkappa(x) = \sum\limits_{\lambda_n<x} a_n\left(1 \frac{\lambda_n}x\right)^\varkappa \to S\) folgt \(V(x) \to S \cdot \varphi(0)\). \ \ \ B. Aus \(V(x) \to C\) und \(R_\mu(x) \to S\) für irgendein festes \(\mu\geqq 0\) folgt \[ C = S \cdot \varphi(0) \quad \text{und} \quad R_\varkappa(x) \to S. \] Wenn \(\varphi(0) = 1\), und wenn \(\sum a_n\) von irgendeiner Ordnung \(R\)-summierbar ist, so folgt aus diesem Satze die Äquivalenz des \(V\)- mit dem \(R_\varkappa\)-Verfahren. Man spricht in einem solchen Falle von ``bedingter Äquivalenz'' der beiden, und man bezeichnet das Bestehen einer Beziehung \[ V(x) \to S\varphi(0) \] im Sinne des Satzes als für das \(R_\varkappa\)-Verfahren ``bedingt charakteristisch''. Durch Wahl der Funktion \(\varphi(y)\) wird eine große Zahl schöner Beziehungen zwischen den Werten \(V(x)\) und den Abschnitten \(A_x\left(\dfrac {c_i}{x}\right)=\sum\limits_{\lambda_n<x} a_ne^{-\lambda_n\frac {c_i}x}\) gewisser \textit{Dirichlet}scher Reihen, bzw. den Kopplungen \(\sum\limits_{i=1}^{\varkappa+1} \alpha_i A_x\left(\dfrac {c_i}{x}\right)\) solcher Abschnitte bewiesen; z. B. ist das durch \(\…
zbMATH DE Number: 2586113
author: Werner Rogosinski
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2586113