A further note on the converse of Abel's theorem.
type: Item
instance of: scholarly article
title: A further note on the converse of Abel's theorem.
zbMATH Open document ID: 52.0220.02
author: G. H. Hardy
author: J. E. Littlewood
published in: Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series
publication date: 1926-01-01T00:00:00Z
review text: \textit{Littlewood} hat 1911 (Proceedings L. M. S. (2) 9, 434-448; F. d. M. 42, 276 (JFM 42.0276.*)) Bedingungen für \(a_n\) und \(\lambda_n\) genannt, unter denen aus der Existenz von \(\lim\limits_{t\to +0}\sum\limits_{n=1}^\infty a_n e^{-\lambda_nt}\) auf die Konvergenz von \(\sum\limits_1^\infty a_n\) zum selben Werte zu schließen ist. Die Verf. geben nun in dieser neuen Arbeit den folgenden, über die \(a_n\) nichts voraussetzenden Satz: Wenn \(\lambda_1> 0\), \(\dfrac{\lambda_{n+1}}{\lambda_n} \geqq \theta >1\) (für \(n = 1, 2, \ldots \)) und wenn \(f(t) = \sum\limits_{n=1}^\infty a_ne^{-\lambda_nt}\) für reelles \(t \to + 0\) gegen \(s\) strebt, so konvergiert \(\sum\limits_1^\infty a_n\) zum Werte \(s\). Dies wird zunächst unter der Annahme \(a_n = O(1)\) bewiesen, und dann wird gezeigt, daß \(\varlimsup\limits_{n\to \infty}|a_n| = \infty\) mit der Konvergenz von \(f(t)\) für \(t \to + 0\) nicht verträglich ist. Der genannte Satz findet schließlich bei der Konstruktion stetiger nicht differenzierbarer Funktionen Verwendung; für die Funktion \[ \varphi(t)= \sum_{n=1}^\infty a_ne^{-i\lambda_nt}, \] für die \(\lambda_1 > 0\), \(\dfrac{\lambda_{n+1}}{\lambda_n} \geqq \theta >1\) ist und \(\sum |a_n|\) konvergiert, ergibt sich u. a: Wenn \(a_n\lambda_n \neq o(1)\), ist \(\varphi(t)\) nicht differenzierbar. Wenn \(a_n\) reell ist und \(|a_n\lambda_n|\) eine positive untere Grenze hat, so sind \[ g(t) =\sum a_n \cos \lambda_n t \quad \text{und} \quad h(t)=\sum a_n \sin \lambda_n t \] höchstens in einer Menge vom Maße 0 differenzierbar. Wenn \(a_n =\lambda_n^{-\alpha}b_n\), wo \(0 < \alpha \leqq 1\) ist und \(b_n\) positive obere und untere Grenze hat, so sind \(g(t)\) und \(h(t)\) für kein \(t\) differenzierbar.
zbMATH DE Number: 2586115
Wikidata QID: Q111200550
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s2-25.1.219
OpenAlex ID: W2033026646
DOI: 10.1112/PLMS/S2-25.1.219
description: scientific article; zbMATH DE number 2586115