Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. III: Dirichletentwicklung analytischer Funktionen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. III: Dirichletentwicklung analytischer Funktionen.
zbMATH Open document ID: 52.0330.04
DOI: 10.1007/BF02543846
published in: Acta Mathematica
publication date: 1926-01-01T00:00:00Z
review text: Die vorliegende dritte der drei großen \textit{Bohr}schen Arbeiten, die die Theorie der fastperiodischen Funktionen begründen, bringt die Theorie der fastperiodischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Die Theorie ist inzwischen klassisch geworden und hat durch ihren Schöpfer selbst eine lehrbuchmäßige Darstellung gefunden (\textit{H. Bohr}, Fastperiodische Funktionen, Ergebnisse d. Math. 1, 5; Berlin 1932; F. d. M. 58). Das \textit{Problem} lautet: Welche in einem Streifen \(\alpha <\sigma <\beta\) analytischen Funktionen \(f(s) =f(\sigma+ it)\) lassen sich in ``\textit{Dirichlet}sche Reihen'' \(\sum a_ne^{\lambda_ns}\) entwickeln? Dabei ist zu betonen, 1) daß von der Funktion und nicht von der Reihe ausgegangen wird, und 2) daß den Exponenten \(\lambda_n\) gar keine Beschränkung auferlegt ist, die Reihe also zunächst nur im formalen Sinne zu verstehen ist. Die \textit{Antwort} lautet, daß dies immer dann und im wesentlichen nur dann der Fall ist, wenn die Funktion \(f(s)\) fast periodisch ist, wenn sie also die folgende Eigenschaft besitzt: Zu jedem \(\varepsilon > 0\) gibt es eine Länge \(l(\varepsilon)\) derart, daß jedes auf der imaginären Achse gelegene Intervall \(t_1< t < t_2\) der Länge \(l\) mindestens eine zu \(\varepsilon\) gehörige Verschiebungszahl \(\tau =\tau(\varepsilon)\) enthält, d. h. eine Zahl \(\tau\), welche für alle \(s\) im ganzen Streifen \(\alpha < \sigma < \beta\) die Ungleichung \[ |f(s+i\tau)-f(s)|<\varepsilon \] erfüllt. Wir zitieren nun weiter nach der oben genannten Darstellung von \textit{Bohr}: ``Um zu der \textit{Dirichletentwicklung} \(\sum a_ne^{\lambda_ns}\) einer in \((a, \beta)\) fastperiodischen Funktion \(f(s)\) zu gelangen, verfahren wir folgendermaßen. Auf jeder festen Geraden \({\mathfrak R} (s) = \sigma\) des Streifens ist \(f(\sigma+ it) = F_\sigma (t)\) fastperiodisch in \(t\) und hat also eine \textit{Fourier}reihe \[ F_\sigma(t)\sim \sum a_n^{(\sigma)}e^{i\lambda_n^{(\sigma)}t}. \] Nun läßt sich aber mit Hil…
Mathematics Subject Classification ID: 42A75
zbMATH DE Number: 2586562
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf02543846
OpenAlex ID: W3162117442
author: Harald Bohr
description: scientific article; zbMATH DE number 2586562