Zur Theorie der fastperiodischen Funktionen. III: Dirichletentwicklung analytischer Funktionen.
Die vorliegende dritte der drei großen \textit{Bohr}schen Arbeiten, die die Theorie der fastperiodischen Funktionen begründen, bringt die Theorie der fastperiodischen Funktionen einer komplexen Veränderlichen. Die Theorie ist inzwischen klassisch geworden und hat durch ihren Schöpfer selbst eine lehrbuchmäßige Darstellung gefunden (\textit{H. Bohr}, Fastperiodische Funktionen, Ergebnisse d. Math. 1, 5; Berlin 1932; F. d. M. 58). Das \textit{Problem} lautet: Welche in einem Streifen \(\alpha <\sigma <\beta\) analytischen Funktionen \(f(s) =f(\sigma+ it)\) lassen sich in ``\textit{Dirichlet}sche Reihen'' \(\sum a_ne^{\lambda_ns}\) entwickeln? Dabei ist zu betonen, 1) daß von der Funktion und nicht von der Reihe ausgegangen wird, und 2) daß den Exponenten \(\lambda_n\) gar keine Beschränkung auferlegt ist, die Reihe also zunächst nur im formalen Sinne zu verstehen ist. Die \textit{Antwort} lautet, daß dies immer dann und im wesentlichen nur dann der Fall ist, wenn die Funktion \(f(s)\) fast periodisch ist, wenn sie also die folgende Eigenschaft besitzt: Zu jedem \(\varepsilon > 0\) gibt es eine Länge \(l(\varepsilon)\) derart, daß jedes auf der imaginären Achse gelegene Intervall \(t_1< t < t_2\) der Länge \(l\) mindestens eine zu \(\varepsilon\) gehörige Verschiebungszahl \(\tau =\tau(\varepsilon)\) enthält, d. h. eine Zahl \(\tau\), welche für alle \(s\) im ganzen Streifen \(\alpha < \sigma < \beta\) die Ungleichung \[ |f(s+i\tau)-f(s)|<\varepsilon \] erfüllt. Wir zitieren nun weiter nach der oben genannten Darstellung von \textit{Bohr}: ``Um zu der \textit{Dirichletentwicklung} \(\sum a_ne^{\lambda_ns}\) einer in \((a, \beta)\) fastperiodischen Funktion \(f(s)\) zu gelangen, verfahren wir folgendermaßen. Auf jeder festen Geraden \({\mathfrak R} (s) = \sigma\) des Streifens ist \(f(\sigma+ it) = F_\sigma (t)\) fastperiodisch in \(t\) und hat also eine \textit{Fourier}reihe \[ F_\sigma(t)\sim \sum a_n^{(\sigma)}e^{i\lambda_n^{(\sigma)}t}. \] Nun läßt sich aber mit Hilfe des \textit{Cauchy}schen Integralsatzes leicht zeigen, erstens daß die Exponenten \(\lambda_n^{(\sigma)}\) von \(\sigma \) unabhängig sind, und zweitens, daß die Koeffizienten \(a_n^{(\sigma)}\) in der richtigen Weise von \(\sigma\) abhängen, d. h. \(a^{(\sigma)}_n = a_ne^{\lambda_n\sigma}\), wo \(a_n\) eine Konstante ist, die nicht von \(\sigma\) abhängt. Die \textit{Fourier}reihen auf den kontinuierlich vielen Geraden \({\mathfrak R} (s) = \sigma\) schließen sich also zu einer einzigen Entwicklung der Form \[ \sum a_ne^{\lambda_n\sigma}\cdot e^{i\lambda_nt} = \sum a_ne^{\lambda_ns} \] zusammen, und diese Entwicklung ist es, die wir als die \textit{Dirichlet}sche Reihe der Funktion \(f(s)\) im Streifen \((\alpha, \beta)\) bezeichnen. Wir schreiben auch hier \[ f(s)\sim \sum a_ne^{\lambda_ns}.\text{''} \] ``Im Spezialfalle einer reinperiodischen Funktion mit der Periode \(2\pi i\) (oder, wenn wir zu der \(z\)-Ebene zurückkehren, einer Funktion im schlichten Kreisringe \(r_1< |z| < r_2\)) geht unsere \textit{Dirichlet}sche Reihe in die gewöhnliche \textit{Laurent}reihe der Funktion \(f(s)\) über.'' ``Aus der Theorie für den Fall einer reellen Veränderlichen überträgt sich unmittelbar der \textit{Eindeutigkeitssatz}, daß zu zwei verschiedenen in einem gemeinsamen Streifen fastperiodischen Funktionen zwei verschiedene \textit{Dirichlet}sche Reihen gehören, und der Satz von der Konvergenz im Mittel, d. h. die \textit{Parseval}sche Gleichung \[ M\{|f(\sigma +it)|^2\}=\sum |a_n|^2e^{2\lambda_n\sigma}, \;\;\alpha <\sigma<\beta. \] Auch die Rechenregeln für das Operieren mit den Reihenentwicklungen übertragen sich sofort: Die \textit{Dirichlet}entwicklung einer Summe, eines Produktes, einer Grenzfunktion, eines Integrales (falls es beschränkt bleibt) und eines Differentialquotienten entsteht durch formales Rechnen mit den \textit{Dirichlet}reihen der vorgelegten Funktionen.'' ``Der Approximationssatz läßt sich ebenfalls unschwer übertragen und liefert den folgenden Hauptsatz der ganzen Theorie: Damit eine in \([\alpha, \beta]\) analytische Funktion fastperiodisch ist, ist notwendig und hinreichend, daß sie sich gleichmäßig in \([\alpha, \beta]\) durch Exponentialpolynome \(\sum\limits _1^N a_ne^{\lambda_ns}\) annähern läßt.'' Die letzten Paragraphen beschäftigen sich mit etwas spezielleren Fragen: Funktionen mit \textit{Dirichlet}exponenten von gleichem Vorzeichen, das Verhalten im Punkte \(\sigma = +\infty\) die \textit{Laurent}trennung fastperiodischer Funktionen.
scientific article; zbMATH DE number 2586562