The solution of Mathieu's differential equation: Representation by contour integrals and asymptotic expansions.
type: Item
instance of: scholarly article
title: The solution of Mathieu's differential equation: Representation by contour integrals and asymptotic expansions.
zbMATH Open document ID: 52.0367.01
DOI: 10.1017/S0013091500034374
author: J. Dougall
published in: Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society
publication date: 1926-01-01T00:00:00Z
review text: Die Arbeit schließt an zwei frühere an (Proceedings Edinburgh M. S. 24 (1915-1916) 176-196 und Proceedings Edinburgh M. S. 41 (1922-1923), zitiert ``II''); über einige gebrauchte Ergebnisse von II wird hier kurz mitberichtet. -Verf. stellt sich die Aufgabe, die Theorie der allgemeinen \textit{Mathieu}schen Differentialgleichung so zu entwickeln, daß, wie es auch der Entstehung aus der Wellengleichung für die Ellipse bzw. der Potentialgleichung für den elliptischen Zylinder entspricht, der Übergang zum Grenzfall der \textit{Bessel}funktionen in Evidenz tritt. Er geht von der Differentialgleichung aus \[ \frac{d^2 u}{d\sigma^2} + \frac{1}{\sigma} \, \frac{du}{d\sigma} \left(1+\frac{s^2}{\sigma^2} + \frac{k^4}{\sigma^4}\right) u = 0, \] die durch einfache Transformation aus der sonst meistens üblichen mit periodischen Koeffizienten hervorgeht, und für \(k = 0\) mit der Gleichung für die \textit{Bessel}schen Funktionen vom Argument \(i\sigma\) und Index \(s\) zusammenfällt. Es werden nun Analoga zu den \textit{Hankel}schen (aus der \textit{Laplace}transformation entspringenden) Integralen gesucht, aber nicht durch direkten Integralansatz, sondern durch Umrechnung unendlicher Reihen. In II werden drei solche aufgestellt; die ersten beiden (die gewöhnlich ein Fundamentalsystem bilden) lauten: \[ J(\pm \mu, i\sigma) = \sqrt{2/\pi}\, e^{i\mu\pi} \sum_{n=-\infty}^{+\infty} \chi(n+\mu) \sigma^{2n+2\mu}. \] Der allgemeine Koeffizient \(\chi(n + \mu)\) ist dabei das Produkt aus einer reziproken \(\varGamma\)-Funktion und einer Fakultätenreihe von \(2n + 2\mu + \frac 12\), welche ihrerseits die durch den Reihenansatz entstehende Differenzengleichung zweiter Ordnung löst. Der Umlaufsexponent \(2\mu\) ist aus einer transzendenten Gleichung zu bestimmen. Für \(n \geqq 0\) können nun die Koeffizienten \(\chi (n+\mu)\) mittels des Integrals für die \(B\)-Funktion in die Form gebracht werden \[ C_\mu \int\limits_{(0, 1^+, 0)} \frac{t^{2n}}{(2n)!} \, F(t) \, dt, \quad \text{ worin } \q…
zbMATH DE Number: 2586686
Wikidata QID: Q115336696
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2586686