Some further contributions to the theory of null series and their connexion with null integrals.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Some further contributions to the theory of null series and their connexion with null integrals.
zbMATH Open document ID: 52.0367.02
author: C. Fox
published in: Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series
publication date: 1926-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. untersucht im ersten Teile Integralbeziehungen von der Form: \[ \int_0^\infty \varPhi(x, t) J_n(at) t^{2s} \, dt = \cos \left(s-\frac{\nu}{2}\right) \pi \int_0^\infty \left\{\frac{2}{\pi} \varPhi(x, t) K_n(at) - F(t)\right\} t^{2s} \, dt, \] \[ \int_0^\infty \varPhi(x, t) Y_n(at) t^{2s} \, dt = \sin \left(s-\frac{\nu}{2}\right) \pi \int_0^\infty \left\{\frac{2}{\pi} \varPhi(x, t) K_n(at) - F(t)\right\} t^{2s} \, dt, \] wo \(\varPhi(x, t)\) eine gerade große Funktion mit gewissen weiteren Bedingungen, \(\nu > -1\) ist und \(x\) in einem gewissen Intervall liegt. Im zweiten Teil werden die Ergebnisse zur Untersuchung von Nullentwicklungen von der Form \[ \frac 12 a + \sum_{n=1}^\infty \frac{\varPhi(x, j_n)}{J_n^\prime (j_n)} \, j_n^{\tfrac 12 + 2m} = 0 \] außerhalb des Nullintervalls angewendet; dabei bedeutet \(j_n\) die \(n\)-te Nullstelle von \(J_n\). Es folgen Anwendungen auf die Gamma-, \textit{Legendre}- und \textit{Bessel}funktionen. Daraus wird z. B. ein neuer Typ von Nullentwicklungen der \textit{Legendre}schen Funktionen gewonnen: \[ \frac 12 P^m_{-\tfrac 12} (\cos \varPhi) + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n P_{nx-\tfrac 12}^m (\cos \varPhi) = 0, \] für \(0 < \varPhi <\pi\), \(0 < x\varPhi < \pi\) und \(m < \frac 12\).
zbMATH DE Number: 2586687
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s2-26.1.35
OpenAlex ID: W2081859906
DOI: 10.1112/PLMS/S2-26.1.35
description: scientific article; zbMATH DE number 2586687