Some problems of diophantine approximation: an additional note on the trigonometrical series associated with the elliptic theta-functions.
In ihrer Arbeit II gleichen Titels (F. d. M. 45, 305 (JFM 45.0305.*)) hatten die Verf. den folgenden grundlegenden Satz bewiesen: Wenn \(0 <x < 1\), \(0 \leqq \vartheta \leqq 1\), \(\omega > 1\) ist und \[ s(\omega) = s(\omega,x,\vartheta) = \sum_{0\leqq n^2\leqq \omega} e^{-n^2\pi i x}\cos 2n\pi \vartheta \] gesetzt wird, so ist, und zwar gleichmäßig in \(\omega\) und \(\vartheta\), \[ s(\omega,x,\vartheta)-\frac{e^{-\frac 14\pi i}}{\sqrt x} e^{\frac{\pi i \vartheta^2}x}\cdot s\left(x^2\omega,-\frac 1x,\frac {\vartheta}x\right) = O\left(\frac 1{\sqrt x}\right). \] Für diesen Satz, für den inzwischen \textit{van der Corput} zwei neue Beweise gegeben hat (F. d. M. 48, 440 (JFM 48.0440.*); 49, 266) wird hier wieder ein neuer, auf anderen Wegen vorgehender Beweis gegeben.
scientific article; zbMATH DE number 2591259