Über die Abschnitte trigonometrischer Reihen.
In dieser Arbeit wird ein sehr fruchtbarer neuer methodischer Gedanke in die Theorie der Fourierreihen eingeführt, der durch das Wort ``Abschnittskoppelung'' bezeichnet werden kann: Es seien \[ \displaystyle s_m(x)=\frac {a_0}{2}+\sum _{n=1}^m (a_n\cos nx + b_n\sin nx), \;\;\;(m=0,1,2,\ldots ), \] die Abschnitte der Fourierreihe einer in \(0\ldots 2\pi\) Lebesgue-integrierbaren, mit \(2\pi \) periodischen Funktion \(f (x)\). Das Hauptresultat der Arbeit besagt dann etwa: Das Bild von \(s_m(x)\) stellt für genügend große \(m\) in hinreichender Nähe einer Stetigkeitsstelle \(\xi \) eine regelmäßige Fast-Schwingung der Wellenlänge \(\displaystyle \frac {2\pi }{m}\) um den Wert \(f(\xi )\) als Mittellage dar. Das soll genauer folgendes heißen: Ist \((h_m)\) irgendeine reelle Nullfolge und \(f(x)\) in \(\xi \) stetig, so strebt bei festem ungeradem \(p\) die ``Summenkoppelung'' \[ s_m(\xi + h_m)+s_m\Big (\xi+h_m+\frac {p\pi }{m}\Big ) \to 2f(\xi ) \tag{1} \] und bei festem geradem \(p\) die ``Differenzkoppelung'' \[ s_m(\xi+h_m)-s_m\Big (\xi+h_m+\frac {p\pi }{m}\Big ) \to 0. \tag{2} \] Wird an der Stelle \(\xi \) nur die Existenz der beiden Grenzwerte \(f(\xi \pm 0)\) vorausgesetzt, so gelten analoge Beziehungen, bei denen rechts die beiden Werte \(f(\xi + 0)\pm f(\xi - 0)\) in einfachen Verbindungen auftreten. Für \(h_m=\displaystyle -\frac {p}{2m}\) erhält man die ``symmetrischen'' Koppelungen, für die die eben erwähnten Formeln bei ungeradem \(p\) \[ \displaystyle s_m\Big (\xi-\frac {p\pi}{2m}\Big ) + s_m\Big (\xi+\frac {p\pi}{2m}\Big )\to f(\xi +0)+f(\xi -0) \] und bei geradem \(p = 2k\) \[ \displaystyle s_m\Big (\xi+\frac {k\pi}{m}\Big ) s_m\Big (\xi-\frac {k\pi}{m}\Big )\to \frac {2}{\pi } \big (f(\xi +0) - f(\xi -0)\big )\,\int _0^{k\pi }\frac {\sin t}{t}\,dt \] lauten. Die erste liefert also ein einfaches Summierungsverfahren, die zweite gestattet den ``Sprung'' der Funktion aus ihrer Fourierreihe abzulesen (vgl. hierzu \textit{Fejér} 1913; F. d. M. 44, 483 (JFM 44.0483.01)). Auch die beiden Grenzwerte \(f(\xi \pm 0)\) selbst lassen sich in ähnlicher Weise aus den allgemeinen Formeln z. B. für \(h_m =\pm \displaystyle \frac {1}{\sqrt m}\) durch Abschnittskoppelungen gewinnen. Die Beziehungen dieser Ergebnisse zu den ähnlich gearteten von \textit{Fejér}, der statt der Abschnittskoppelungen die \(C_1\)-Mittel der Abschnitte verwendet hatte, legt die Frage nahe, in welcher Beziehung beide Methoden zu einander stehen. Es wird, in Ausführung mündlicher Mitteilungen von \textit{Fejér} und \textit{Fekete}, gezeigt, daß sogar bei beliebigen trigonometrischen Reihen aus der Anwendbarkeit des \(C_1\)-Verfahrens an irgendeiner Stelle ebendort und mit gleichem Ergebnis diejenige der symmetrischen Koppelungen mit ungeradem \(p\) folgt. Für \(p = 1\) endlich wird auch das Umgekehrte gezeigt: Für beliebige trigonometrische Reihen ist also das \(C_1\)-Verfahren mit dem Verfahren der symmetrischen Summenkoppelung \[ \displaystyle \frac {1}{2}\Big (s_m (\xi-\frac {\pi}{2m})+s_m (\xi+\frac {\pi}{2m})\Big ) \] äquivalent. Für \(p > 1\) ist dagegen keine Äquivalenz vorhanden.
scientific article; zbMATH DE number 2591554