The allied series of a Fourier series.
Ist die Funktion \(f(x)\) im Lebesgueschen Sinne integrierbar und \[ \frac {1}{2}\,a_0+\sum _1^{\infty }\,(a_n\cos nx + b_n\sin nx) \tag{1} \] ihre Fourierreihe, so heißt \[ \sum _1^{\infty }\,(b_n\cos nx - a_n\sin nx). \tag{2} \] die konjugierte Reihe der Fourierreihe. Die konjugierte Reihe ist nicht notwendig eine Fourierreihe. Z. B.: \(\displaystyle \sum _2^{\infty }\frac {\cos nx}{\log n}\) ist eine Fourierreihe und \(\displaystyle \sum _2^{\infty }\frac {\sin nx}{\log n}\) keine. Die Summe der konjugierten Reihe ist durch \[ g(x)=\frac {1}{2\pi } \int _0^{\pi }\,[f(x+t)-f(x-t)]\cot \frac {t}{2}\,dt \tag{3} \] oder \[ g(x)=\frac {1}{\pi } \int _0^{\infty }\,\frac {f(x+t)-f(x-t)}{t}\,dt \tag{4} \] gegeben, wobei vorausgesetzt ist, daß \(f(x)\) außerhalb des Definitionsintervalls \((0, 2\pi)\) durch Periodizität definiert ist. In diesen Formeln ist das Integral als Cauchyscher Hauptwert zu nehmen. \textit{W. H. Young} bewies (1911; F. d. M. 42; 283, 285; 1918; F. d. M. 46, 451 (JFM 46.0451.01)-452), daß (2) \((C\,1)\) summierbar ist, wenn (3) einen Cauchyschen Hauptwert hat und wenn \[ \int _0^{u}\,|f(x+t)-f(x-t)|\,dt = o\,(u), \;u\to 0; \tag{5} \] ferner daß (2) konvergiert, wenn (3) existiert, und wenn \[ \displaystyle \frac {1}{u}\,\int _0^{u}\,[f(x+t)-f(x-t)]\,dt \] von beschränkter Schwankung ist. Die Bedingung (5) ist insbesondere erfüllt in jedem Punkt \(x\), in welchem für jedes \(q\,|f(x)- q|\) die Ableitung ihres Integrales ist. Die Gesamtheit dieser Punkte heiße die Lebesguesche Menge \(L\). Die zu \(L\) komplementäre Menge ist vom Maße Null. Also gilt (5) fast überall. Nun ist auf \(L\) die Reihe (1) \((C,1)\)-summierbar und also auch für jedes \(\delta >0\) \((C,\delta )\)-summierbar. (1) ist also fast überall \((C,\delta )\)-summierbar. Es erhebt sich die Frage, ob (2) dieselbe Eigenschaft besitzt. Die Antwort -- was die (\(C,1)\)-Summabilität betrifft -- ist in bejahendem Sinne von \textit{Plessner} (1923; F. d. M. 49, 204 (JFM 49.0204.02)) gegeben worden. In Erweiterung eines \textit{Fatou}schen Satzes zeigte nämlich Plessner, daß, wenn \(x\) ein Punkt von \(L\) ist, die \((C,1)\)-Konvergenz der Reihe (2) die notwendige und hinreichende Bedingung der Existenz von (3) im Cauchyschen Sinne ist. Die Aufgabe ist also auf den Beweis reduziert, daß (3), als Hauptwert verstanden, fast überall konvergiert. Wenn \(f\) quadratisch integrierbar, wurde dieser letzte Punkt von \textit{Besikovitch}, wenn \(|f(x)|^p\) \((p > 1)\) integrierbar, von \textit{M. Riesz} und \textit{Titchmarsh} erledigt. Die Verf. beweisen nun, daß auf \(L\) die Reihe (2) entweder für jedes \(\delta >0\) oder für kein \(\delta >0\) \((C,\delta )\)-summierbar ist. Daraus folgt, im Zusammenhang mit dem Satz von Plessner, daß (2) für jedes \(\delta >0\) und fast überall \((C,\delta )\) summierbar ist. Ist \(\Phi (t)\) in \((\varepsilon,a)\) für jedes \(\varepsilon >0\) im Lebesgueschen Sinne integrierbar und ist \(\displaystyle \chi(\varepsilon )=\int _{\varepsilon }^{a}\,\Phi (t)\,dt\), dann sagen die Verf., daß \(\displaystyle \int _{\varepsilon }^{a}\,\Phi (t)\,dt\) im Cesàroschen Sinne existiert oder \((C)\)-summierbar ist, wenn für eine gewisse ganze Zahl \(r\) \[ \frac {1}{\varepsilon } \,\int _0^{\varepsilon } \frac {d\varepsilon _1}{\varepsilon _1} \,\int _0^{\varepsilon _1} \frac {d\varepsilon _2}{\varepsilon _2}\cdots \cdot \,\int _0^{\varepsilon _{\varkappa -2}}\frac {d\varepsilon _{\varkappa -1}}{\varepsilon _{\varkappa -1}} \,\int _0^{\varepsilon _{\varkappa -1}} \varkappa (\varepsilon _{\varkappa })\, d\varepsilon _{\varkappa } \] einen Grenzwert hat, wenn \(\varepsilon \to 0\). Dieser Grenzwert heißt der \((C)\)-Wert von \(\displaystyle \int _0^{a}\,\Phi (t)\,dt\). Dann ist die \((C)\)-Summierbarkeit von (3) die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß (2) \((C)\)-summierbar ist. Im letzten Teil untersuchen die Verf. verschiedene das Integral \[ \int _0^{\pi }\,\frac {f(x+t)-f(x)}{t}\,dt \tag{6} \] betreffende Fragen. Dieses Integral hat wesentlich andere Eigenschaften als das Integral \[ \int _0^{\pi }\,\frac {f(x+t)-f(x-t)}{t}\,dt\,. \tag{7} \] Während (7) für jede integrierbare Funktion \(f\) fast überall konvergiert, kann (6) fast überall divergieren, sogar wenn \(f\) stetig ist. (6) ist mit der Reihe \(\displaystyle \sum \frac {s_n-s}{n}\) verknüpft, in welcher \(s_n\) die Summe der \((n+1)\) ersten Glieder von (1) ist und \(s\) eine gewisse von \(n\) unabhängige Größe. Einige Sätze erläutern diese Verknüpfung. Am Schluß wird gezeigt, daß (6) fast überall gegen eine quadratisch integrierbare Funktion konvergiert, wenn \(\sum (a_n^2+b_n^2)(\log n)^2\) konvergiert.
scientific article; zbMATH DE number 2591557