The allied series of a Fourier series.
type: Item
instance of: scholarly article
title: The allied series of a Fourier series.
zbMATH Open document ID: 51.0222.03
author: G. H. Hardy
author: J. E. Littlewood
published in: Proceedings of the London Mathematical Society. Second Series
publication date: 1925-01-01T00:00:00Z
review text: Ist die Funktion \(f(x)\) im Lebesgueschen Sinne integrierbar und \[ \frac {1}{2}\,a_0+\sum _1^{\infty }\,(a_n\cos nx + b_n\sin nx) \tag{1} \] ihre Fourierreihe, so heißt \[ \sum _1^{\infty }\,(b_n\cos nx - a_n\sin nx). \tag{2} \] die konjugierte Reihe der Fourierreihe. Die konjugierte Reihe ist nicht notwendig eine Fourierreihe. Z. B.: \(\displaystyle \sum _2^{\infty }\frac {\cos nx}{\log n}\) ist eine Fourierreihe und \(\displaystyle \sum _2^{\infty }\frac {\sin nx}{\log n}\) keine. Die Summe der konjugierten Reihe ist durch \[ g(x)=\frac {1}{2\pi } \int _0^{\pi }\,[f(x+t)-f(x-t)]\cot \frac {t}{2}\,dt \tag{3} \] oder \[ g(x)=\frac {1}{\pi } \int _0^{\infty }\,\frac {f(x+t)-f(x-t)}{t}\,dt \tag{4} \] gegeben, wobei vorausgesetzt ist, daß \(f(x)\) außerhalb des Definitionsintervalls \((0, 2\pi)\) durch Periodizität definiert ist. In diesen Formeln ist das Integral als Cauchyscher Hauptwert zu nehmen. \textit{W. H. Young} bewies (1911; F. d. M. 42; 283, 285; 1918; F. d. M. 46, 451 (JFM 46.0451.01)-452), daß (2) \((C\,1)\) summierbar ist, wenn (3) einen Cauchyschen Hauptwert hat und wenn \[ \int _0^{u}\,|f(x+t)-f(x-t)|\,dt = o\,(u), \;u\to 0; \tag{5} \] ferner daß (2) konvergiert, wenn (3) existiert, und wenn \[ \displaystyle \frac {1}{u}\,\int _0^{u}\,[f(x+t)-f(x-t)]\,dt \] von beschränkter Schwankung ist. Die Bedingung (5) ist insbesondere erfüllt in jedem Punkt \(x\), in welchem für jedes \(q\,|f(x)- q|\) die Ableitung ihres Integrales ist. Die Gesamtheit dieser Punkte heiße die Lebesguesche Menge \(L\). Die zu \(L\) komplementäre Menge ist vom Maße Null. Also gilt (5) fast überall. Nun ist auf \(L\) die Reihe (1) \((C,1)\)-summierbar und also auch für jedes \(\delta >0\) \((C,\delta )\)-summierbar. (1) ist also fast überall \((C,\delta )\)-summierbar. Es erhebt sich die Frage, ob (2) dieselbe Eigenschaft besitzt. Die Antwort -- was die (\(C,1)\)-Summabilität betrifft -- ist in bejahendem Sinne von \textit{Plessner} (1923; F. d. M. 49, 204 (JFM 49.0204.02)) gegeben …
zbMATH DE Number: 2591557
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: s2-24.1.211
OpenAlex ID: W2075532864
DOI: 10.1112/PLMS/S2-24.1.211
description: scientific article; zbMATH DE number 2591557