Congruences with constant absolute invariants.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Congruences with constant absolute invariants.
zbMATH Open document ID: 51.0557.03
DOI: 10.1090/S0002-9947-1925-1501295-1
author: H. L. Olson
published in: Transactions of the American Mathematical Society
publication date: 1923-01-01T00:00:00Z
review text: Nach \textit{Wilczynski} (1911; F. d. M. 42, 681 (JFM 42.0681.*)) ist eine Geradenkongruenz gegeben durch das System partieller Differentialgleichungen \[ \begin{matrix} & \quad \\ y_v = mz, & z_u = ny, \\ y_{uu} = ay + bz + cy_u + dz_v, & z_{vv} = a^\prime y + b^\prime z + c^\prime y_u + d^\prime z_v. \end{matrix} \tag{1} \] Dieses System hat genau vier linear unabhängige Lösungen \(y_i\), \(z_i\) \((i = 1, 2, 3, 4)\), wenn gewisse Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind. Deutet man \(y_i\) und \(z_i\) als homogene Koordinaten zweier Punkte \(P_y\) und \(P_z\), so durchlaufen \(P_y\) und \(P_z\) bei Variation von \(u\) und \(v\) zwei Flächen \(S_y\) und \(S_z\), die die beiden Mäntel der Brennfläche der Kongruenz \(\overline{P_y P_z}\) bilden. Die Torsen der Kongruenz sind die Geradenscharen \(\overline{P_y P_z}\) für \(u = \) const oder \(v = \) const. Jede Transformation \[ y = \lambda(u) \bar y, \quad z = \mu(v) \bar z, \quad \bar u = \alpha (u), \quad \bar v = \beta (v) \tag{2} \] führt das System (1) in sich über. Unter Invarianten sind stets Invarianten dieser Transformationsgruppe verstanden. Ein volles System relativer Invarianten ist dann gegeben durch \[ \begin{matrix} \l & \quad \l \\ \overset {(y)}{\mathfrak B} = \dfrac c4 \dfrac 18 \dfrac{\partial}{\partial u} \log (dm^3), & \overset {(z)}{\mathfrak B} = \dfrac c4 + \dfrac 18 \dfrac{\partial}{\partial u} \log (c^{\prime 3} n), \\ \overset {(y)}{\mathfrak C}^{\prime\prime} = \dfrac{d^\prime}{4} + \dfrac 18 \dfrac{\partial}{\partial v} \log (d^3 m), & \overset {(z)}{\mathfrak C}^{\prime\prime} = \dfrac{d^\prime}{4} \dfrac 18 \dfrac{\partial}{\partial v} \log ({c^\prime} n^3). \end{matrix} \tag{3} \] Die in der vorliegenden Arbeit behandelten Kongruenzen mit konstanten absoluten Invarianten zerfallen in drei Typen, je nachdem keine, beide oder nur eine der beiden relativen Invarianten \[ \overset {(z)}{\mathfrak B} - \overset {(y)}{\mathfrak B}, \quad \overset {(z)}{\mathfrak C}^{\prime\prime} \overset {(…
zbMATH DE Number: 2593338
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2593338