Electrodynamics in the general relativity theory.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Electrodynamics in the general relativity theory.
zbMATH Open document ID: 51.0713.08
DOI: 10.2307/1989168
author: G. Y. Rainich
published in: Transactions of the American Mathematical Society
publication date: 1925-01-01T00:00:00Z
review text: Verf., der Häufung zahlreicher Tensorindizes abhold, entwickelt zunächst eine Art ``direkter Symbolik'' für den vierdimensionalen Tensorkalkül: ``\(x\)'' als Symbol des Vektors mit den kontravarianten Komponenten \(x^i\), \(f(x)\) als Symbol der linearen Vektorfunktion \(f_\varrho^i x^\varrho\) (``Tensor \(f\)''), \(\lambda\) als Charakteristik der invarianten Richtung \(a\) (\(f(a) = \lambda a\)), \(a = \varrho x + \sigma y\) als invariante Ebene, \(| f_j^i - \lambda g_j^i| =0\) als charakteristische Gleichung, schließlich die biquadratische Relation \[ f^4(a)-\alpha f^3(a)+\beta f^2(a)-\gamma f(a)+\delta = 0 \] mit \(f^2 = f[f(a)]\), \(\ldots\) für den Tensor \(f\) im vierdimensionalen Raum. Damit ergibt sich das Theorem: Zu jeder linearen Vektorfunktion gehört im vierdimensionalen Raum mindestens eine invariante Ebene. Im indefiniten pseudoeuklidischen (Minkowskischen) Fall wird die Darstellung: \(x = ix^1 + jx^2 + kx^3 + lx^4\), \(i^2 = - 1\), \(j^2 = k^2 = l^2 = 1\) verwendet. Unter den linearen Vektorfunktionen sind die symmetrischen und schiefsymmetrischen durch \[ f(x)y \mp f(y)x = 0 \] gekennzeichnet. Insbesondere gestatten die schiefsymmetrischen linearen Vektorfunktionen die beiden kanonischen Darstellungen \[ \begin{aligned} &f(x) = A \{i (jx) - j (ix)\} + F \{k(lx) - l (kx)\} \\ &f(x) = G\{n(kx)-k(nx)\}, \end{aligned} \] deren erste für den Fall gilt, wo zwei oder keine Nullrichtung in der betrachteten Ebene (\((i, j)\)-Ebene bzw. \((k, l)\)-Ebene) liegen, während für die zweite die Annahme einer Nullrichtung gemacht wurde. Dabei bedeuten \(A\) und \(F\) die ``Streckungskoeffizienten'' der Transformation; ferner gilt: \[ f(i) = Gk,\quad f(j) = - Gk,\quad f (k) = Gi + Gj,\quad f (l) = 0, \quad n = i+ j. \] In beiden Fällen handelt es sich um absolute Orthogonalität der invarianten Ebenen (die gemeinsame Richtung im zweiten Falle ist isotrop!). Im ersten Falle ergeben die Werte \(A^2 - F^2\) und \(AF\) die beiden Invarianten des (allgemeinen) schiefsymmet…
zbMATH DE Number: 2594274
Wikidata QID: Q56532528
MaRDI profile type: Publication
full work available at URL: https://doi.org/10.2307/1989168
OpenAlex ID: W4233938682
description: scientific article; zbMATH DE number 2594274