Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen.
zbMATH Open document ID: 50.0078.04
DOI: 10.1007/BF01556078
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1924-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/159045
review text: Es sei \(F_n\) eine durch \(n\) Elemente, zwischen denen keine Relation besteht, erzeugte Gruppe. Der Zweck der Arbeit ist es, die Gruppe \(\Gamma_n\) der Automorphismen von \(F_n\) durch erzeugende Elemente und definierende Relationen darzustellen. Aus einer früheren Abhandlung des Verf. (F. d. M. 46, 175 (JFM 46.0175.*), 1918) ergibt sich, daß\ \(\Gamma_n\) durch 4 Elemente \(P, Q, O, U\) erzeugt werden kann. Dabei erzeugen \(P, Q\) eine Untergruppe \(\Sigma_n\) von \(\Gamma_n\), welche zur symmetrischen Gruppe \(n\)-ten Grades isomorph ist; und \(P, Q, O\) erzeugen eine Gruppe \(\Omega_n\), welche zu der ``durch Vorzeichenwechsel erweiterten symmetrischen Gruppe'' isomorph ist. Der Verf. schreibt nun eine größere Anzahl von Relationen zwischen \(P, Q, O, U\) hin, die aus der Bedeutung der Elemente als Automorphismen von \(F_n\) folgen. Es wird nachgewiesen, daß\ dieses System \(S\) von Relationen zur Definition von \(\varGamma_n\) ausreicht. Dazu wird zunächst gezeigt, daß\ zwei in \(S\) enthaltene Teilsysteme zur Definition von \(\sum_n\) und \(\Omega_n\) ausreichen. Sodann wird für \(S\) und \(\Gamma_n\) selbst der Nachweis dadurch erbracht, daß\ die Potenzprodukte der \(P, Q, O, U\) mittels des Relationssystems \(S\) in ``Normalformen'' übergeführt werden, deren Definition auf Grund der Bedeutung der Elemente als Automorphismen von \(F_n\) erfolgt und so eingerichtet ist, daß\ dem Einheitselement von \(\Gamma_n\) im wesentlichen nur eine Normalform entspricht. Die Überführung in die Normalform, bei der viele Fallunterscheidungen notwendig werden, erfolgt mit Hilfe des Dehnschen Gruppenbildes. -- Ob die für \(\Sigma_n,\Omega_n,\Gamma_n\) aufgestellten Relationensysteme noch vereinfacht werden können, wird nicht untersucht.
zbMATH DE Number: 2595315
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q55970175
author: Jakob Nielsen
description: scientific article; zbMATH DE number 2595315