Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. I: Arithmetischer Teil. II: Analytischer Teil.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. I: Arithmetischer Teil. II: Analytischer Teil.
zbMATH Open document ID: 50.0107.01
DOI: 10.1007/BF01181074
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1924-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/167773
review text: Die beiden Arbeiten stellen eine Übertragung der gesamten arithmetischen und analytischen Theorie der quadratischen Zahlkörper über dem rationalen Zahlkörper auf den Fall der quadrati\-schen Körper \(K(\sqrt{D})\) über dem Körper \(K\) der rationalen Funktionen einer Unbestimmten \(t\) mit Koeffizienten aus dem Restklassenkörper nach einer Primzahl \(p\) dar. Nachdem im ersten arithmetischen Teil der Satz von der eindeutigen Zerlegbarkeit der Ideale in Primideale, die Endlichkeit der Idealklassenzahl \(h\), die Existenz einer Grundeinheit und ein Analogon zum quadratischen Reziprozitätsgesetz für die Körper \(K(\sqrt D)\) bewiesen ist, wird im zweiten, analytischen Teil das Analogon \(Z(s)\) zur Dedekindschen Zetafunktion von \(K(\sqrt D)\) studiert. Diese Funktion erweist sich als eine meromorphe Funktion von elementarem Charakter, die einer Funktionalgleichung des bekannten Typus genügt. Ihr Studium bei \(s=1\) oder \(s=0\) führt zu Ausdrücken für die Klassenzahl \(h\) durch gewisse Summen \(\sigma_\nu\) \((\nu=1,\dots,n-1\); \(n\) Grad von \(D\)) über quadratische Restcharaktere. Die Funktionalgleichung von \(Z(s)\) hat merkwürdige Reziprozitätsbeziehungen zwischen diesen \(\sigma_\nu\) zur Folge. Die Nullstellen \(\varrho\) von \(Z(s)\) (inkl. aller trivialen auf der Geraden \(\Re(s)=0\) gelegenen) ergeben sich aus den Wurzeln \(\beta_\nu\) der algebraischen Gleichung \(z^n+\sigma_1z^{n-1}+\cdots +\sigma_{n-1}=0\) durch \(\beta_\nu=p^0\). Eine Durchrechnung von etwa vierzig einfachen Beispielen bestätigt stets die Richtigkeit des Analogons zur Riemannschen Vermutung, d. h. \(| b_\nu| =\sqrt p\) für die nichttrivialen Nullstellen. Der allgemeine Nachweis dafür stößt auf Schwierigkeiten. Die Klassenzahl \(h\) läßt sich durch ein Produkt über die \(\beta_\nu\) darstellen, woraus sich unter Annahme der Richtigkeit des Analogons zur Riemannschen Vermutung Endlichkeitssätze über ``imaginäre'' Körper \(K(\sqrt D)\) mit vorgegebener Klassenzahl \(h\) oder auch nur vorge…
Mathematics Subject Classification ID: 11R11
Mathematics Subject Classification ID: 11R27
Mathematics Subject Classification ID: 11R29
Mathematics Subject Classification ID: 11R42
Mathematics Subject Classification ID: 11R58
zbMATH DE Number: 2595414
MaRDI profile type: Publication
author: Emil Artin
description: scientific article; zbMATH DE number 2595414