Einige Sätze über Kettenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Einige Sätze über Kettenbrüche, mit Anwendungen auf die Theorie der Diophantischen Approximationen.
zbMATH Open document ID: 50.0125.01
DOI: 10.1007/BF01448437
author: A. Khinchin
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1924-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/159063
review text: Der bekannte in der Formel \[ \left| \alpha-\frac pq \right| < \frac{1}{\sqrt 5 q^2} \] enthaltene Satz über die Approximation jeder irrationalen Zahl \(\alpha\) durch rationale Brüche läßt sich bedeutend verschärfen, wenn man nicht alle irrationalen Zahlen \(\alpha\) ins Auge faßt, sondern nur fast alle (im Legesgueschen Sinn). So beweist Verf. den Satz: ``Ist \(f(x)\) eine positive stetige Funktion von \(x(>0)\) und ist \(xf(x)\) monoton abnehmend, so hat die Ungleichung \[ \left| \alpha - \frac pq \right| < \frac{f(q)}{q}, \] falls \(\int^\infty f(x)dx\) divergiert, für fast alle irrationale \(\alpha\) eine unendliche Anzahl ganzzahliger Lösungen \(p, q\). Falls dagegen \(\int^\infty f(x)dx\) konvergiert, hat sie für fast alle irrationalen \(\alpha\) nur endlich viele solche Lösungen.'' Einige weitere Sätze, die ebenfalls für fast alle irrationalen \(\alpha\) gelten gebe Größenabschätzungen für die Teilnenner der regelmäßigen Kettenbruchentwicklung von \(\alpha\).
zbMATH DE Number: 2595457
Wikidata QID: Q107723742
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2044913704
description: scientific article; zbMATH DE number 2595457