Un teorema di limite.
Es seien \(a_0,a_1,\dots;b_0,b_1,\dots; c_0,c_1,\dots\) drei bz. nach \(a,b,c\) konvergierende Zahlenfolgen; \(\alpha,\beta,\gamma\) seien die für jedes natürliche \(n\) als in endlicher Zahl vorhanden angenommenen Lösungen einer Gleichung bzw. Ungleichung \[ \varphi(\alpha,\beta,\gamma;n)=0\;\text{bzw.}\;\varphi(\alpha,\beta,\gamma;n) \geqq 0 \] in nichtnegativen ganzen rationalen Zahlen; \(p_{\alpha \beta \gamma,n}\) seien nichtnegative Gewichte derart, daß \[ \lim_{n \to \infty} \left\{ H(n)=\sum_{\nu=1}^n p_{\alpha \beta \gamma,\nu} \right\} \to \infty;\;\lim_{n \to \infty} \left\{ \frac{H(n,h)=\sum_{\nu=1;\alpha,\beta,\gamma \geqq h} p_{\alpha \beta gamma,\nu}}{H(n)} \right\}=1; \] \(f(x,y,z)\) sei beschränkt für \(x=a_\alpha,y=a_\beta,z=c_\gamma\), und es sei \(f(a_\alpha,a_\beta,c_\gamma)\to L\) für \(a_\alpha \to a, b_\beta \to b, c_\gamma \to c\). Wird jetzt das räumliche Mittel \[ \theta(n)=\frac{1}{H(n)} \sum_{\nu=1}^n p_{\alpha \beta \gamma, \nu} f(a_\alpha,b_\beta c_\gamma) \] betrachtet, so gilt für diese zahlentheoretische Funktion \[ \lim_{n \to \infty} \theta(n)=L. \] Dieser Satz, von dem Verf. noch gewisse Verallgemeinerungen gibt -- u. a. wird auch der Übergang zum kontinuierlichen Fall untersucht, bei dem natürlich Integrale an Stelle der Summen treten --, enthält als besondere Fälle bekannte diesbezügliche Sätze von Cauchy, Jensen, Cesàro u. a.
scientific article; zbMATH DE number 2595582