Les modules de formes algébriques et la théorie générale des systèmes différentielles.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Les modules de formes algébriques et la théorie générale des systèmes différentielles.
zbMATH Open document ID: 50.0321.03
published in: Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série
publication date: 1924-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: http://www.numdam.org/item
full work available at URL: https://eudml.org/doc/81427
review text: Der Verf. setzt hier die Untersuchungen seiner These (F. d. M. 47, 1919 (JFM 47.1919.*)-20, 440) fort und entwickelt seine Theorie der Moduln von Monomen in der Richtung weiter, daß\ sie nicht bloß, wie in der Thèse, auf die besonders von Riquier behandelten Systeme von partiellen Differentialgleichungen anwendbar ist, sondern auch auf Cartans Theorie der Systeme von Pfaffschen Gleichungen. Für jedes System \((F)\) von \(m\) linear unabhängigen Formen \(p\)-ter Ordnung in \(x_1,\dots,x_n\) definiert der Verf. \(n\) Zahlen \(\sigma_1,\dots,\sigma_n\). Dabei ist \(m+\sigma_1\) die Zahl der linear unabhängigen Formen, die man erhält, wenn man zu \((P)\) alle nicht von \(x_1\) freien Monome hinzufügt, \(m+\sigma_1+\sigma_2\), wenn man auch noch alle nicht von \(x_2\) freien Monome hinzufügt, usw. Ist \((F')\) das System \((\nu+1)\)- ter Ordnung, das entsteht, wenn man jede Form von \((F)\) der Reihe nach mit \(x_1,\dots,x_n\) multipliziert, so gehören ebenso zu \((F')\) die Zahlen \(\sigma_1',\dots,\sigma_n'\). Der Verf. zeigt nun, daß\ \(\sigma_1'+\cdots+\sigma_n' \leqq \sigma_1+2\sigma_2+\cdots+n \sigma_n\). Herrscht hier immer Gleichheit, so wird immer: \[ \sigma_1^{(\lambda+1)}+\cdots+\sigma_n^{(\lambda+1)} = \sigma_1^{(\lambda)}+2\sigma_2^{(\lambda)}+\cdots +n \sigma_n^{(\lambda)}\;(\lambda=0,1,\dots), \] wo die Zahlen \(\sigma_k^{(\lambda)}\) zu dem aus \((F)\) hergeleiteten Systeme \((F^{(\lambda)})\) vom Grade \(p+\lambda\) gehören. Es ist ferner: \(\sigma_k'=\sigma_n+\sigma_{n-1}+\cdots+\sigma_k\) und \(\sigma_1 \geqq \sigma_2 \geqq \cdots \geqq \sigma_n\). Die Zahl der linear unabhängigen unter den Formen \((F^{(\lambda)})\) ist: \[ \Gamma_n^{p+\lambda}-\left\{ \sigma_1+\sigma_2 \Gamma_2^\lambda+\cdots+\sigma_n \varGamma_n^\lambda \right\}, \] wo: \[ \Gamma_n^p=\frac{(p+1)(p+2)\cdots (p+n-1)}{1 \cdot 2 \cdots (n-1)} . \] Endlich bleiben die Zahlen \(\sigma_1,\dots,\sigma_n\) bei jeder linearen homogenen Transformation der \(x_\nu\) erhalten, und es ist: \(\sig…
zbMATH DE Number: 2596091
author: Maurice Janet
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2600013800
DOI: 10.24033/ASENS.754
description: scientific article; zbMATH DE number 2596091