On the distribution of roots of algebraic equations with integral coefficients
type: Item
instance of: scholarly article
title: On the distribution of roots of algebraic equations with integral coefficients
zbMATH Open document ID: 49.0047.01
DOI: 10.1007/BF01504345
author: M. Fekete
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1923-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/167739
review text: Die Arbeit beschäftigt sich damit, Kriterien aufzustellen, wann nur eine endliche Anzahl von Gleichungen \[ a_0x^n + a_1x^{n-1} + \cdots + a_n = 0 \tag{1} \] mit ganzzahligen rationalen Koeffizienten und mit nur einfachen Wurzeln existiert, deren sämtliche Wurzeln einer beliebig, aber fest vorgegebenen unendlichen, beschränkten und abgeschlossenen Punktmenge \(E\) der \(x\)-Ebene angehören. Nach dem Vorgang von \textit{I. Schur} [Math. Z. 1, 377--402 (1918; JFM 46.0128.03)], der sich in einer gleichnamigen Arbeit mit demselben Problem im besonderen Fall des reellen Intervalls und des Kreises beschäftigt hat, geht Verf. von der Diskriminante \(\varDelta (x_1, x_2, \ldots, x_n) = \prod (x_i - x_k)^2\) \((n \geqq 2)\) aus. Ist \(M_n\) der größte Wert, den der absolute Betrag der Diskriminante \(\varDelta\) der \(n\) Größen \(x_1, x_2, \ldots, x_n\) annehmen kann, falls diese in \(E\) beliebig variieren, so bilden die positiven Zahlen \(d_n = \root{n (n-1)}\of{M_n}\) (\(n = 2, 3,\ldots\)) eine monoton abnehmende Folge, und es existiert für diese Zahlen \(d_n\) daher ein Grenzwert (der ``transfinite Durchmesser von \(E\)''). Bedeutet weiter \(t_n (x)\) das zu \(E\) zugehörige Tschebyscheffsche Polynom \(n\)-ten Grades und ist \(m_n\) der größte Wert von \(|t_n (x)|\) auf \(E\), so konvergieren die mittleren Radien \(\varrho_n = \root{n}\of{m_n}\) der Überdeckungslemniskaten \(|t_n (x)| = m_n\) bei wachsendem \(n\) ebenfalls nach einem Grenzwert, und zwar ist \(\lim \varrho_n = \lim d_n\), also der transfinite Durchmesser von \(E\). In dem Fall, daß die Komplementärmenge von \(E\) einen einfach zusammenhängenden Bereich bildet, wird \(\lim d_n\) bestimmt. Nach Ableitung dieser den ebenen Punktmengen gewidmeten Sätze beschäftigt sich der Verf. im zweiten Teil mit den ganzzahligen Gleichungen, deren Wurzeln der gegebenen Punktmenge \(E\) angehören. Bei fest gegebenem höchstem Koeffizienten \(a_0\) kann es nur dann unendlich viele ganzzahlige Gleichungen (1) mit einfachen, i…
Mathematics Subject Classification ID: 12D10
zbMATH DE Number: 2597740
zbMATH Keywords: location of zeros of polynomials
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q55954283
description: scientific article; zbMATH DE number 2597740