Solution of the Cesàro summability problem for power-series and Fourier series.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Solution of the Cesàro summability problem for power-series and Fourier series.
zbMATH Open document ID: 49.0232.01
DOI: 10.1007/BF01181064
author: G. H. Hardy
author: J. E. Littlewood
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1923-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/167766
review text: In dieser groß angelegten und scharfsinnigen Arbeit lösen die Verfasser ein Problem, das bisher in dieser Form nicht gestellt worden ist. Es handelt sich um die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, daß eine Potenzreihe in einem Randpunkte des Konvergenzkreises oder eine Fourierreihe in einem Punkte des Integrationsintervalles von \textit{irgendeiner} Ordnung \(C\)-summierbar ist. Die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Konvergenz oder für die \(C\)-Summierbarkeit von einer \textit{bestimmten} Ordnung ist ungelöst und wird auch in dieser Arbeit nicht angegriffen. Es handelt sich vielmehr, ähnlich wie bei den Bohrschen Ergebnissen bezüglich des Konvergenz-und Summierbarkeits-Problems bei Dirichletschen Reihen, lediglich um die Feststellung, ob überhaupt \(C\)-Summierbarkeit von irgendeiner Ordnung vorliegt. Die Grundlage für die Hauptsätze B und C bildet der folgende allgemeine (rein arithmetische) Satz über die \(C\)-Summierbarkeit einer Reihe: \textit{Satz} A. Damit die Reihe \(\sum a_n\) \(C_r\)-summierbar sei, ist es notwendig und hinreichend, daß die \((r+2)\) Zahlenfolgen \[ a_{ns},\quad s = 0,1,2,\ldots,r+1;\quad n = 0,1,2,\ldots \] existieren, derart, daß \(a_{n0}=a_n\), \(a_{n,s-1}=(n+1)(a_{ns}-a_{n+1,s})\), \(s > 0\) ist und daß \(\sum a_{n,r+1}\) \(C_{-1}\)-summierbar ist. Unter diesen Umständen ist \(a_{ns}\) gleich der \(C_{r-s}\)-Summe von \(\sum\limits_{\nu=n}^{\infty}\dfrac{a_{\nu s-1}}{\nu+1}\) für \(s=1, 2, \ldots, r+1\), und die Reihe \(\sum a_{ns}\) \(C_{r-s}\)-summierbar und hat für jedes \(s\) dieselbe Summe. (Ein im wesentlichen äquivalenter Satz ist schon früher von Knopp, s. F. d. M. 46, 321 (JFM 46.0321.*), 1917, bewiesen worden.) -- Mit Hilfe dieses Satzes wird nun bewiesen: \textit{Satz} B. Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(f(x) = \sum a_nx^n\) (Radius \(= 1\)) in \(x=+1\) von irgendeiner Ordnung \(C\)-summierbar sei mit der Summe \(s\), besteht darin, daß 1. zwei positive Konsta…
zbMATH DE Number: 2598300
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2030208734
description: scientific article; zbMATH DE number 2598300