Mémoire sur le calcul aux différences finies.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Mémoire sur le calcul aux différences finies.
zbMATH Open document ID: 49.0322.02
DOI: 10.1007/BF02403922
published in: Acta Mathematica
publication date: 1923-01-01T00:00:00Z
review text: Es handelt sich um die beiden Differenzengleichungen \[ \begin{aligned} \frac{F(x+\omega)-F(x)}{\omega}=\varphi(x), \tag{1} \\ \frac{G(x+\omega)+G(x)}{2}=\varphi(x), \tag{2} \end{aligned} \] wo \(\varphi(x)\) eine gegebene stetige Funktion und \(F(x)\) bzw. \(G(x)\) gesucht sind. Die Lösungen sind natürlich nicht eindeutig, sondern die Lösung von (1) ist nur bis auf eine additive Funktion der Periode \(\omega\) bestimmt, und die Lösung von (2) nur bis auf eine additive Funktion \(p(x)\), für welche \(p(x +\omega) = - p(x)\) ist. Wenn eine Lösung bekannt ist, so ist hiermit auch die allgemeinste Lösung bekannt, und es handelt sich nun darum, unter allen Lösungen eine ausfindig zu machen, die vermöge ihrer besonderen Eigenschaften verdient, als \textit{Hauptlösung} bezeichnet zu werden. Um eine dermaßen ausgezeichnete Lösung zu finden, nimmt Nörlund zunächst \(x\) reell und \(\omega\) positiv an und geht von den Ausdrücken \[ \begin{aligned} &F(x) = - \omega \sum_{s=0}^\infty \varphi(x + s\omega), \tag{3} \\ &G(x) = 2 \sum_{s=0}^\infty (- 1)^s \varphi(x + s\omega) \tag{4} \end{aligned} \] aus, die die Gleichung (1) bzw. (2) formal befriedigen; doch sind die Reihen in (3) und (4) im allgemeinen divergent. Unter ziemlich allgemeinen Annahmen über die Funktion \(\varphi(x)\) läßt sich aber zeigen, daß die Ausdrücke \[ \begin{aligned} &F_{\eta}(x|\omega)= \int_a^\infty \varphi(x)e^{-\eta x}\,dx-\omega\sum_{s=0}^\infty \varphi(x+s\omega)e^{-\eta(x+s\omega)}, \tag{5} \\ &G_{\eta}(x|\omega)=2\sum_{s=0}^\infty (-1)^s \varphi(x+s\omega)e^{-\eta(x+s\omega)} \tag{6} \end{aligned} \] für positive \(\eta\) existieren und für \(\eta \to 0\) gegen gewisse Grenzwerte \[ \begin{aligned} &\lim_{\eta \to 0} F_{\eta}(x|\omega) = F(x|\omega), \tag{7} \\ &\lim_{\eta \to 0} G_{\eta}(x|\omega) = G(x|\omega) \tag{8} \end{aligned} \] streben. Diese Grenzwerte genügen dann, wie man leicht sieht, der Gleichung (1) bzw. (2), und sie werden als \textit{Hauptlösung} bezeichnet. Die untere Integrati…
zbMATH DE Number: 2598527
author: Niels Erik Nörlund
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q106655022
description: scientific article; zbMATH DE number 2598527