Les probabilités dénombrables et leur rapport à la théorie de la mesure.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Les probabilités dénombrables et leur rapport à la théorie de la mesure.
zbMATH Open document ID: 49.0361.01
published in: Fundamenta Mathematicae
publication date: 1923-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/213613
review text: Verf. stellt für die ``abzählbaren Wahrscheinlichkeiten'' ein System von Axiomen auf, das genau der von Sierpiński (Bull. Ac. Cracovie 1918, 173; F. d. M. 46, 298 (JFM 46.0298.*)) gegebenen axiomatischen Definition der nach Lebesgue meßbaren Mengen entspricht, so daß hierdurch unmittelbar die Sätze über ``abzählbare Wahrscheinlichkeiten'' und die Sätze über das Maß von Punktmengen einander zugeordnet werden. Verschiedene Anwendungen werden gegeben auf Fragen der Ziffernhäufigkeit und auf Fragen der Wahrscheinlichkeit der Konvergenz gewisser numerischer Reihen mit unbestimmtem Vorzeichen des allgemeinen Gliedes. Besonders ausführlich wird das sog. ``Borelsche Paradoxon'' (Palermo Rend. 27, 247; F. d. M. 40, 283 (JFM 40.0283.*), 1909) (``Für fast alle Zahlen ist die Häufigkeit der \(0\) in der dyadischen Entwicklung \(=\frac 12\)'') behandelt. Verf. findet hierzu: Fast überall gilt \[ \limsup_{n\to\infty}\sqrt{\frac{2n}{\log n}}\cdot \left|\frac{\nu(n)}{n}-\frac12\right|\leqq 1, \] wobei \(\nu(n)\) die Anzahl der Nullen unter den \(n\) ersten Ziffern der dyadischen Entwicklung der betr. Zahl bedeutet. Ferner gibt Verf. eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß eine Zahl im Borelschen Sinne ``normal'' sei. (III, IV 2.)
zbMATH DE Number: 2598627
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q108783430
OpenAlex ID: W1024745565
DOI: 10.4064/FM-4-1-286-310
author: Hugo Steinhaus
description: scientific article; zbMATH DE number 2598627