Über Axiomensysteme für beliebige Satzsysteme. Teil II. Sätze höheren Grades.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Über Axiomensysteme für beliebige Satzsysteme. Teil II. Sätze höheren Grades.
zbMATH Open document ID: 49.0683.01
DOI: 10.1007/BF01448090
published in: Mathematische Annalen
publication date: 1923-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/158993
review text: Die im Teil I (Math. Ann. 87, 246-269, 1922; F. d. M. 48, 1117 (JFM 48.1117.*)) ausgeführte Untersuchung betreffend Sätze von der Form \(a\to b\), wird auf Sätze des allgemeineren Typus \[ (a_1a_2\cdots a_n) \to b \] -- zu lesen: ``wenn \(a_1\) und \(a_2\) und \(\cdots\) und \(a_n\), so \(b\)'' -ausgedehnt. An die Stelle des einfachen Kettenschlusses \[ \vbox{\halign{\tabskip0pt\hfil\(#\)\hfil\cr a\to b\cr b\to c\cr \noalign{\vskip0.8ex\hrule\vskip0.8ex} a\to c\cr}} \] tritt hier das allgemeinere Schema des ``Syllogismus'' \[ \vbox{\halign{\tabskip0pt#\kern3em\hfil&\hfil#&#\hfil&\kern1.5em#\hfil\cr I. &\(\begin{cases} (a_1^1a_2^1\ldots)\to b_1\\ (a_1^2a_2^2\ldots)\to b_2\\ \noalign{\vskip-0.7ex} \dotfill \end{cases}\)\kern-0.2em &&(``Unters\"atze'')\cr II. &\((b_1b_2\ldots c_1c_2 \ldots)\to d\) &&(``Obersatz'')\cr \noalign{\vskip-1.3ex} &\multispan3\hrulefill\cr \noalign{\vskip0.5ex} III. &\multispan2\(\begin{pmatrix} a_1^1a_2^1\dotfill\\ \noalign{\vskip0.3ex} a_1^2a_2^2\ldots c_1c_2\ldots\\ \noalign{\vskip-0.4ex} \dotfill \end{pmatrix} \to d\)\hfill &(``Schlu{\ss}satz'').\cr}} \] Zu dem Syllogismus tritt noch hinzu der unmittelbare Schluß, bestehend in dem Übergang von einem Satz \((a_1\ldots a_n\to b\) zu einem Satz \((a_1\ldots a_nc)\to b\). Das Ziel ist wiederum, ein Kriterium dafür zu gewinnen, daß zu einem abgeschlossenen Satzsystem, d. h. einem solchen System von Sätzen der betrachteten Art, das durch Anwendung der ``Schlüsse'' nicht mehr erweitert werden kann, verschiedene Systeme von unabhängigen Axiomen existieren. (Als Axiomensystem eines Satzsystems wird ein Teilsystem bezeichnet, aus dem das ganze System durch Anwendung von Schlüssen gewonnen werden kann.) Als ein solches notwendiges Kriterium für das Vorhandensein verschiedener unabhängiger Axiomensysteme ergibt sich die Existenz eines zu dem Satzsystem gehörigen ``Zyklus'', bestehend aus einer Reihe von Sätzen folgender Art: \[ (a_1^i a_2^i \ldots e_i) = e_{i+1}\qquad (i=1,\ldots,n), \] wobei \(e_{n+1…
zbMATH DE Number: 2599867
author: Paul Hertz
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W3022486391
description: scientific article; zbMATH DE number 2599867