Note on Ramanujan's trigonometrical function \(c_q(n)\) and certain series of arithmetical functions.
Verf. vereinfacht die Beweise für die von \textit{S. Ramanujan} [Trans. Camb. Philos. Soc. 22, 259--276 (1918)] gegebenen Darstellungen mannigfacher zahlentheoretischer Funktionen \(f (n)\) in der Form \[ f (n) = \sum_q a_qc_q(n) \] (\(q\) durchläuft hier und im folgenden die Werte \(1, 2, 3,\ldots\)), wo die \(a_q\) von \(n\) unabhängig und \(c_q(n)\) die zahlentheoretische Funktion \(c_q (n) = \sum\limits_{\substack{ p \bmod q \\ (p,q) = 1 }} e^{-\tfrac{2\pi i pn} q } =n\)-te Potenzsumme der primitiven \(q\)-ten Einheitswurzeln ist, und fügt weitere solcher Darstellungen hinzu. Das Auffindungsprinzip des Verf. für alle diese Formeln ist folgendes: Ist \(\chi(q)\) irgendeine zahlentheoretische Funktion \( \not \equiv 0 \) von \(q\), für die \[ \chi(q_1)\chi(q_2) = \chi(q_1q_2), \quad \text{ wenn } (q_1, q_2) = 1, \tag{1} \] so gilt \[ \sum_q \chi(q) = \prod_{\tilde{\omega}} (1 + \chi(\tilde{\omega}) + \chi(\tilde{\omega}^2) + \cdots ), \tag{2} \] wo \( \tilde{\omega}\) alle Primzahlen durchläuft, wenn nur beide Seiten absolut konvergent sind. Die Funktion \(c_q(n)\) hat die Eigenschaft (1). Man zeigt überdies rein arithmetisch durch Ausrechnung für \(q = \tilde{\omega}^k \) leicht, daß \[ c_q (n)= \sum_{\delta / (q,n)} \delta \mu \left( \frac q\delta \right), \quad \text{ speziell } c_q (1) = \mu (q) \] ist, erstreckt über alle Teiler \(\delta\) des größten gemeinsamen Teilers \((q, n)\), so daß \(c_q(n)\) für jedes feste \(n\) beschränkt ist. Setzt man nun in (2) \[ \chi(q) = \frac {c_q (n)}{q^s} \quad (s>1), \tag{a} \] \[ \chi(q) = \frac {\mu (q)c_q (n)}{\varphi_s (q)}, \tag{b} \] wo \(\mu (q)\) die bekannte Möbiussche Funktion und \[ \varphi_s (q) = q^s \prod\limits_{\tilde{\omega} /q} (1 - \tilde{\omega}^{-s}), \;\text{ speziell } \;\varphi_1 (q) = \varphi (q) \quad (\text{Eulersche Funktion}) \] ist, so resultieren folgende Formeln, bei denen \({}^*\)) bedeutet, daß sie schon in der genannten Arbeit von Ramanujan gefunden sind: \[ \text{*) } \sigma_{s-1} (n) = \zeta (s) n^{s-1} \sum_q \frac {c_q (n)}{q^s}; \quad s > 1, \quad \text{ wo } \sigma_{s-1} (n) = \sum_{\delta /n} \delta^{s-1}, \tag{a} \] \[ *) \text{ speziell } \sigma_{1} (n) = \sigma (n) = \sum_{\delta /n} \delta = \frac {\pi^2 (n)}6 \sum_q \frac {c_q (n)}{q^2}, \] \[ \varphi_{s-1} (n) = \frac {n^{s-1}}{\zeta (s)} \sum_q \frac {\mu (q)c_q (n)}{\varphi_s (q) }; \quad s > 1, \tag{b} \] \[ \text{*) \;speziell } \varphi_{1} (n) = \varphi (n) = \frac {6n}{\pi^2 } \sum_q \frac {\mu (q) c_q (n)}{\varphi_{2} (q)}. \] Durch nicht trivialen, mit funktionentheoretischen Hilfsmitteln geführten Grenzübergang zu \(s = 1\) resultiert ferner aus a) bzw. b):\newline \((\text{a}) \qquad \qquad \text{*) } \;\sum\limits_q \dfrac {c_q (n)} q = 0,\) \[ \sum_q \frac{\mu (q) c_q (n)}{\varphi (q)} = \frac {\varphi (n)}n \varLambda(n); \quad (\varLambda (n) \text{ wie bei Landau, Handbuch I, 1900} ). \tag{b} \] Auf dieselbe Weise ergeben sich durch geeignete Ansätze für \(\chi(q)\) in (2) und funktionentheoretische Grenzübergänge zu \(s = 1\) die Formeln: \[ \sum_q \frac {c_q (n) }{\varphi (q)}= 0, \;\text{ speziell } \;\sum_q \frac {\mu (q) }{\varphi (q)}= 0; \] \[ \sum_q \frac {\mu (q) \log q }{\varphi (q)} = 0; \quad \sum_q \frac {\mu (q) (\log q)^2 }{\varphi (q)} = 4A\log 2, \] wobei \(A = \prod\limits_{\tilde{\omega} \not = 2} \left( 1- \dfrac 1{(\tilde{\omega} -1)^2} \right)\); ferner, wenn \(u\) alle ungeraden Zahlen 1, 3, 5,... durchläuft: \[ \sum_u \frac {\mu (u) }{\varphi (u)}= 0; \quad \sum_u \frac {\mu (u) \log u }{\varphi (u)}= -2A; \] \[ \sum_q \frac {(-1)^{\nu (q)} }{q}= \sum_q \frac {(-1)^{\nu (q)} \log q }{q} = 0, \] wo \(\nu (q) =\) Anzahl der verschiedenen Primfaktoren von \(q\); \[ \sum_u \frac {(-1)^{\nu (u)} }{u}= 0; \quad \sum_u \frac {(-1)^{\nu (u)} \log u }{u}= -2A; \] \[ \sum_q \frac {2^{\nu (q)}\mu (q) \log q)^k }{q}= \left\{ \begin{matrix} \l \\ \;\;0 \;\text{ für } \;k = 0, 1, 2, \\ -24A \log 2 \;\text{ für } \;k = 3. \end{matrix} \right. \] See also the review in JFM 48.1176.01
scientific article; zbMATH DE number 2600718