Note on Ramanujan's trigonometrical function \(c_q(n)\) and certain series of arithmetical functions.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Note on Ramanujan's trigonometrical function \(c_q(n)\) and certain series of arithmetical functions.
zbMATH Open document ID: 48.0151.04
author: G. H. Hardy
published in: Proceedings of the Cambridge Philosophical Society
publication date: 1921-01-01T00:00:00Z
review text: Verf. vereinfacht die Beweise für die von \textit{S. Ramanujan} [Trans. Camb. Philos. Soc. 22, 259--276 (1918)] gegebenen Darstellungen mannigfacher zahlentheoretischer Funktionen \(f (n)\) in der Form \[ f (n) = \sum_q a_qc_q(n) \] (\(q\) durchläuft hier und im folgenden die Werte \(1, 2, 3,\ldots\)), wo die \(a_q\) von \(n\) unabhängig und \(c_q(n)\) die zahlentheoretische Funktion \(c_q (n) = \sum\limits_{\substack{ p \bmod q \\ (p,q) = 1 }} e^{-\tfrac{2\pi i pn} q } =n\)-te Potenzsumme der primitiven \(q\)-ten Einheitswurzeln ist, und fügt weitere solcher Darstellungen hinzu. Das Auffindungsprinzip des Verf. für alle diese Formeln ist folgendes: Ist \(\chi(q)\) irgendeine zahlentheoretische Funktion \( \not \equiv 0 \) von \(q\), für die \[ \chi(q_1)\chi(q_2) = \chi(q_1q_2), \quad \text{ wenn } (q_1, q_2) = 1, \tag{1} \] so gilt \[ \sum_q \chi(q) = \prod_{\tilde{\omega}} (1 + \chi(\tilde{\omega}) + \chi(\tilde{\omega}^2) + \cdots ), \tag{2} \] wo \( \tilde{\omega}\) alle Primzahlen durchläuft, wenn nur beide Seiten absolut konvergent sind. Die Funktion \(c_q(n)\) hat die Eigenschaft (1). Man zeigt überdies rein arithmetisch durch Ausrechnung für \(q = \tilde{\omega}^k \) leicht, daß \[ c_q (n)= \sum_{\delta / (q,n)} \delta \mu \left( \frac q\delta \right), \quad \text{ speziell } c_q (1) = \mu (q) \] ist, erstreckt über alle Teiler \(\delta\) des größten gemeinsamen Teilers \((q, n)\), so daß \(c_q(n)\) für jedes feste \(n\) beschränkt ist. Setzt man nun in (2) \[ \chi(q) = \frac {c_q (n)}{q^s} \quad (s>1), \tag{a} \] \[ \chi(q) = \frac {\mu (q)c_q (n)}{\varphi_s (q)}, \tag{b} \] wo \(\mu (q)\) die bekannte Möbiussche Funktion und \[ \varphi_s (q) = q^s \prod\limits_{\tilde{\omega} /q} (1 - \tilde{\omega}^{-s}), \;\text{ speziell } \;\varphi_1 (q) = \varphi (q) \quad (\text{Eulersche Funktion}) \] ist, so resultieren folgende Formeln, bei denen \({}^*\)) bedeutet, daß sie schon in der genannten Arbeit von Ramanujan gefunden sind: \[ \text{*) } \sigma_{s-1} (n) =…
Mathematics Subject Classification ID: 11L03
zbMATH DE Number: 2600718
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2600718