Über die Verteilung von Irrationalitäten mod. 1.
Verf. überträgt einige Ergebnisse der zweitvorstehend besprochenen Arbeit auf die Dirichletschen Reihen \[ \varphi_q(s)=\sum_{m=1}^{\infty}\frac{P_q(m\alpha)}{m^s}, \] wobei \(\alpha\) eine Irrationalzahl ist, zu der eine Zahl \(r\) im Sinne des Schlußsatzes jener Arbeit existiert und \[ P_q(x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{e^{2\pi ikx}}{(2\pi k)^q} \] das \(q\)-te Bernoullische Polynom bezeichnet. Es sei \[ \limsup_{m\to\infty}\frac{|\log R(m\alpha)|}{\log m}=\mu \] gesetzt; dann wird durch direkte Anwendung der Fourierentwicklung von \(P_q(x)\) sowie der Thetatransformationsformel folgendes gezeigt: Für \(q\geqq 2\) konvergiert \(\varphi_q(s)\) in der Halbebene \[ \begin{aligned} &\mathfrak Rs>1-\frac{q}{2\mu}=\sigma_1, \quad\text{wenn} \;\mu\geqq q,\\ &\mathfrak Rs>\frac{1}{1+\dfrac{q}{\mu}}=\sigma_2, \quad\text{wenn} \;q\geqq \mu>1. \end{aligned} \] Ist \(q\) gerade, so konvergiert \(\varphi_q(s)\) sicher nicht mehr, wenn \(\mathfrak Rs<1-\dfrac q{\mu}=\sigma_3\) ist. Wie bei Hecke, wird sodann \(\sum\limits_{0<m\leqq x} P_q(m\alpha)\) abgeschätzt. Es ergibt sich \[ \begin{aligned} &O(x^{\sigma_1+\delta}), \quad \text{wenn} \;\mu\geqq q,\\ &O(x^{\sigma_2+\delta}), \quad \text{wenn} \;q\geqq \mu>1, \delta>0. \end{aligned} \] Für gerades \(q\) ist ferner dieselbe Summe \textit{nicht} = \(o(x^{\sigma_3-\delta})\).
scientific article; zbMATH DE number 2600836