Zum Mittelwertsatze der Differentialrechnung.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Zum Mittelwertsatze der Differentialrechnung.
zbMATH Open document ID: 48.0250.03
DOI: 10.1007/BF01279034
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1921-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/167627
review text: Ist \(y=f(x)\) in \(a\leqq x\leqq b\) stetig, in \(a < x < b\) differentierbar, so gilt, falls \(x\) und \(x+h\) im abgeschlossenen Intervall \(a\ldots b\) liegen, die Formel \[ f(x+h)-f(x)=h\cdot f'(x+\vartheta h) \quad \text{mit}\quad 0<\vartheta= \vartheta(x,h)<1 \tag{M} \] des ersten Mittelwertsatzes. Die Arbeit geht von der sehr anziehenden Frage aus, bei welchen Funktionen \(\vartheta\) \textit{weder} von \(x\) noch von \(h\) \textit{oder nur von \(h\) oder nur von \(x\)} abhängt. Die Ergebnisse sind überraschend einfach; aber die Beweise nicht so leicht, wie man es vermuten möchte. Macht man noch von der Bemerkung Gebrauch, daß es auf eine Streckung von \(x\) und \(y\) sowie auf eine additiv hinzutretende lineare ganze Funktion bei \(y=f(x)\) nicht ankommt, so kann man die Ergebnisse so formulieren: (M) wird für ein konstantes \(\vartheta\) nur durch die Parabel \(y=x^2\) und nur mit \(\vartheta=\frac12\) erfüllt; für \(\vartheta=\vartheta(h)\not \equiv\) konst. nur durch \(e^x\) und nur mit \(\vartheta=\dfrac1h \log\dfrac{e^h-1}h\); für \(\vartheta=\vartheta(x)\not\equiv\) konst. durch \textit{keine} Funktion \(- \vartheta(h)\) bzw. \(\vartheta(x)\) werden dabei als differentiierbar angenommen. Weiterhin wird dann allgemeiner für die Taylorsche Formel \[ f(x+h) = f(x) + \frac h{1!} f'(x) + \cdots +\frac{h^{n-1}}{(n-1)!}f^{(n-1)}(x)+ \frac{h^n}{n!}f^{(n)}(x+\vartheta h) \tag{T} \] mit dem Lagrangeschen Restglied die Frage nach den Funktionen mit \textit{konstantem} \(\vartheta\) aufgeworfen. Es zeigt sich, daß hier nur die Polynome \((n+1)\)-ten Grades mit \(\vartheta=\dfrac1{n+1}\) der Formel (T) genügen. Endlich zeigt sich ähnlich bezüglich des Mittelwertsatzes \(n\)-ter Ordnung \[ \varDelta^n f(x)=h^n\cdot f^{(n)}(x+\vartheta nh), \] daß hier \(\vartheta\) dann und nur dann \textit{konstant}, und zwar \(=\frac12\), ist, wenn \(f(x)\) ein Polynom \((n+1)\)-ten Grades ist. Zum Schluß der Arbeit wird die Frage nach den Bedingungen behandelt, denen \(\vartheta…
zbMATH DE Number: 2601042
author: Rudolf Rothe
MaRDI profile type: Publication
description: scientific article; zbMATH DE number 2601042