Kriterien für die Randwerte beschränkter Funktionen.
Von G. Pick und dem Verf. sind Kriterien für die Existenz einer Funktion \(f(x)\) angegeben worden, die in der oberen Halbebene \(\mathfrak{J}(x) > 0\) einen nicht negativen Imaginärteil besitzt und an vorgeschriebenen Stellen \(x_\nu\) der oberen Halbebene vorgeschriebene Werte \(z_\nu\) annimmt, die wieder dieser Halbebene oder der reellen Achse angehören \((\nu = 1, 2,\ldots, n)\). Der Verf. legt sich nun die Frage vor, inwieweit die Kriterien zu modifizieren sind, wenn man die \(x_\nu\) und \(z_\nu\) auf die reelle Achse rücken läßt und dann naturgemäß \(f(x)\) der weiteren Forderung unterwirft, über die \(x_\nu\) hinaus fortsetzbar zu sein. Es zeigt sich nun, daß zu den \(2n\) Werten \textit{stets} eine Funktion der gewünschten Art existiert, daß es aber nicht mehr möglich ist, auch noch die Ableitungswerte \(z_{\nu}' = f'(x_\nu )\) willkürlich vorzuschreiben. Die Relation, die zwischen den \(3n\) Werten \(x_\nu, z_\nu, z_n'\) bestehen, werden nun auf einem rekursiven Wege vollständig hergeleitet. Der Verf. behandelt weiter die Frage, inwieweit durch die Vorgabe der Werte \(x, z, z'\) der Wert der Funktion an einer Stelle der oberen Halbebene beschränkt wird. Es zeigt sich nun, daß analog wie im Fall innerer Punkte \(x, z\) der oberen Halbebene der Bildwert einem wohlbestimmten Kreis \(C\) angehören muß, der nicht in die untere Halbebene hineinragen kann. Zu inneren Punkten desselben gehören unendlich viele, zu einem Peripheriepunkt genau eine (rationale) Funktion. Im Falle \(n = 1\) erhält man einen von Julia angegebenen Satz. Es folgen zum Schluß einige Bemerkungen über den Fall unendlich vieler vorgeschriebener Wertezuordnungen \(x, z, z'\).
scientific article; zbMATH DE number 2601302