Kriterien für die Randwerte beschränkter Funktionen.
type: Item
instance of: scholarly article
title: Kriterien für die Randwerte beschränkter Funktionen.
zbMATH Open document ID: 48.0322.02
DOI: 10.1007/BF01485277
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1922-01-01T00:00:00Z
full work available at URL: https://eudml.org/doc/167687
review text: Von G. Pick und dem Verf. sind Kriterien für die Existenz einer Funktion \(f(x)\) angegeben worden, die in der oberen Halbebene \(\mathfrak{J}(x) > 0\) einen nicht negativen Imaginärteil besitzt und an vorgeschriebenen Stellen \(x_\nu\) der oberen Halbebene vorgeschriebene Werte \(z_\nu\) annimmt, die wieder dieser Halbebene oder der reellen Achse angehören \((\nu = 1, 2,\ldots, n)\). Der Verf. legt sich nun die Frage vor, inwieweit die Kriterien zu modifizieren sind, wenn man die \(x_\nu\) und \(z_\nu\) auf die reelle Achse rücken läßt und dann naturgemäß \(f(x)\) der weiteren Forderung unterwirft, über die \(x_\nu\) hinaus fortsetzbar zu sein. Es zeigt sich nun, daß zu den \(2n\) Werten \textit{stets} eine Funktion der gewünschten Art existiert, daß es aber nicht mehr möglich ist, auch noch die Ableitungswerte \(z_{\nu}' = f'(x_\nu )\) willkürlich vorzuschreiben. Die Relation, die zwischen den \(3n\) Werten \(x_\nu, z_\nu, z_n'\) bestehen, werden nun auf einem rekursiven Wege vollständig hergeleitet. Der Verf. behandelt weiter die Frage, inwieweit durch die Vorgabe der Werte \(x, z, z'\) der Wert der Funktion an einer Stelle der oberen Halbebene beschränkt wird. Es zeigt sich nun, daß analog wie im Fall innerer Punkte \(x, z\) der oberen Halbebene der Bildwert einem wohlbestimmten Kreis \(C\) angehören muß, der nicht in die untere Halbebene hineinragen kann. Zu inneren Punkten desselben gehören unendlich viele, zu einem Peripheriepunkt genau eine (rationale) Funktion. Im Falle \(n = 1\) erhält man einen von Julia angegebenen Satz. Es folgen zum Schluß einige Bemerkungen über den Fall unendlich vieler vorgeschriebener Wertezuordnungen \(x, z, z'\).
zbMATH DE Number: 2601302
author: Rolf Nevanlinna
MaRDI profile type: Publication
OpenAlex ID: W2912498183
description: scientific article; zbMATH DE number 2601302