Contributions to the theory of Toeplitz forms
type: Item
instance of: scholarly article
title: Contributions to the theory of Toeplitz forms
zbMATH Open document ID: 48.0376.03
DOI: 10.1007/BF01199955
published in: Mathematische Zeitschrift
publication date: 1920-01-01T00:00:00Z
review text: Der erste Teil der vorliegenden Arbeit ist der Untersuchung der Toeplitzschen Formen \[ \begin{gathered} T_n(f)=\frac 1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(\theta)\,|x_0+x_1z+x_2z^2+ \cdots + x_nz^n|^2\,d\theta \\ (z=e^{i\theta}; \;n=0,1,2, \ldots) \end{gathered} \] gewidmet. Im Mittelpunkte steht dabei der folgende einfache Minimumsatz. Es sei \(f(\theta) \geqq 0\), \(f(\theta)\) \((L)\) integrabel, \(\int\limits_0^{2\pi}f(\theta)\,d\theta >0\). Bezeichnet \(\mu_n(\alpha)\) das Minimum von \(T_n(f)\) unter der Nebenbedingung \[ x_0+x_1\alpha+x_2\alpha^2+ \cdots + x_n\alpha^n=1, \] wobei \(|\alpha| < 1\), dann konvergieren die Zahlen \(\mu_n(\alpha)\) monoton abnehmend gegen \[ (1-|\alpha|^2)G(\alpha)= (1-|\alpha|^2)e^{\frac 1{2\pi}\int\limits _0 ^{2\pi}\log f(\theta)\frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-\varphi)+r^2}\,d\theta}. \] Hierbei ist \(\alpha= re^{i\varphi}\). Ist \(\log f(\theta)\) nicht \((L)\) integrabel, dann ist \(G(\alpha) =0\) zu setzen. Für \(\alpha = 0\) ergibt dieser Satz einen früher bewiesenen Satz des Verf. [Math. Ann. 76, 490--503 (1915; JFM 45.0518.02)] in einer schärferen Fassung, die von M. Fekete herrührt. Außerdem folgt hieraus bezüglich der Verteilung der Eigenwerte \(\lambda_0^{(n)}\), \(\lambda_1^{(n)}\), \dots, \(\lambda_n^{(n)}\) (Wurzeln der zu \(T_n(f)\) gehörigen charakteristischen Gleichung) der Satz: Es sei \(m \le f(\theta)\le M\) (\(m\) braucht hier nicht positiv zu sein). Dann ist bekanntlich \(m\leqq \lambda_\nu^{(n)}\le M\); mit \(F(\lambda)\) eine für \(m\le \lambda \leqq M\) definierte stetige Funktion bezeichnend, ist nun \[ \lim_{n\to \infty}\frac{F(\lambda_0^{(n)}) + F(\lambda_1^{(n)}) +\ldots+F(\lambda_n^{(n)})}{n+1}=\frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi}F(f(\theta))\,d\theta. \] Durch Spezialisierung von \(F(\lambda)\) (nach dem Weylschen Muster) erhält man verschiedene Sätze, welche die Verteilung der \(\lambda_\nu^{(n)}\) charakterisieren. Von den Anwendungen sei genannt: Die Funktion \(g(z)=\frac 12+\alpha_1z + \alpha_2z^2+ \cdots \) sei nic…
Mathematics Subject Classification ID: 42-XX
zbMATH DE Number: 2601418
author: Gabor Szegő
MaRDI profile type: Publication
Wikidata QID: Q56082508
full work available at URL: https://doi.org/10.1007/bf01199955
OpenAlex ID: W1538219305
description: scientific article; zbMATH DE number 2601418