Contributions to the theory of Toeplitz forms
Der erste Teil der vorliegenden Arbeit ist der Untersuchung der Toeplitzschen Formen \[ \begin{gathered} T_n(f)=\frac 1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(\theta)\,|x_0+x_1z+x_2z^2+ \cdots + x_nz^n|^2\,d\theta \\ (z=e^{i\theta}; \;n=0,1,2, \ldots) \end{gathered} \] gewidmet. Im Mittelpunkte steht dabei der folgende einfache Minimumsatz. Es sei \(f(\theta) \geqq 0\), \(f(\theta)\) \((L)\) integrabel, \(\int\limits_0^{2\pi}f(\theta)\,d\theta >0\). Bezeichnet \(\mu_n(\alpha)\) das Minimum von \(T_n(f)\) unter der Nebenbedingung \[ x_0+x_1\alpha+x_2\alpha^2+ \cdots + x_n\alpha^n=1, \] wobei \(|\alpha| < 1\), dann konvergieren die Zahlen \(\mu_n(\alpha)\) monoton abnehmend gegen \[ (1-|\alpha|^2)G(\alpha)= (1-|\alpha|^2)e^{\frac 1{2\pi}\int\limits _0 ^{2\pi}\log f(\theta)\frac{1-r^2}{1-2r\cos(\theta-\varphi)+r^2}\,d\theta}. \] Hierbei ist \(\alpha= re^{i\varphi}\). Ist \(\log f(\theta)\) nicht \((L)\) integrabel, dann ist \(G(\alpha) =0\) zu setzen. Für \(\alpha = 0\) ergibt dieser Satz einen früher bewiesenen Satz des Verf. [Math. Ann. 76, 490--503 (1915; JFM 45.0518.02)] in einer schärferen Fassung, die von M. Fekete herrührt. Außerdem folgt hieraus bezüglich der Verteilung der Eigenwerte \(\lambda_0^{(n)}\), \(\lambda_1^{(n)}\), \dots, \(\lambda_n^{(n)}\) (Wurzeln der zu \(T_n(f)\) gehörigen charakteristischen Gleichung) der Satz: Es sei \(m \le f(\theta)\le M\) (\(m\) braucht hier nicht positiv zu sein). Dann ist bekanntlich \(m\leqq \lambda_\nu^{(n)}\le M\); mit \(F(\lambda)\) eine für \(m\le \lambda \leqq M\) definierte stetige Funktion bezeichnend, ist nun \[ \lim_{n\to \infty}\frac{F(\lambda_0^{(n)}) + F(\lambda_1^{(n)}) +\ldots+F(\lambda_n^{(n)})}{n+1}=\frac 1{2\pi} \int_0^{2\pi}F(f(\theta))\,d\theta. \] Durch Spezialisierung von \(F(\lambda)\) (nach dem Weylschen Muster) erhält man verschiedene Sätze, welche die Verteilung der \(\lambda_\nu^{(n)}\) charakterisieren. Von den Anwendungen sei genannt: Die Funktion \(g(z)=\frac 12+\alpha_1z + \alpha_2z^2+ \cdots \) sei nicht konstant, regulär und vom positiven Realteil für \(|z|\leqq 1\). (Es ist dann \(|\alpha_1|<1\).) Setzt man \(|\alpha_1|=\sin \varphi\) \(\left(0\leqq \varphi < \dfrac \pi 2\right)\), so kann die Kurve \(w=g(z)\) \((|z|=1)\) nicht ganz im Winkelraum \(|\operatorname{arc} w|\leqq \varphi\) verlaufen. Der zweite Teil beschäftigt sich hauptsächlich mit einer neuen Klasse von Polynomen, die auf dem Einheitskreis in gewissem Sinne orthogonal sind und analoge Eigenschaften besitzen wie die auf der reellen Achse orthogonalen Polynome, welche in der Stieltjesschen Theorie der Kettenbrüche auftreten. Es sei wieder \(f(\theta) \geqq 0\), \(f(\theta)\) \((L)\) integrabel, \(\int\limits_0^{2\pi} f(\theta)\,d\theta>0\). Die fraglichen Polynome \(\varphi_n(z)\) (\(n=0,1,2, \ldots\)) sind durch folgende Eigenschaften gekennzeichnet: 1. \(\varphi_n(z)\) ist vom \(n\)-ten Grade. 2. Sein höchster Koeffizient ist positiv. 3. \(\dfrac 1{2\pi} \int\limits_0^{2\pi}f(\theta)\varphi_m(z) \overline{\varphi_n(z)}\,d\theta = \varepsilon_{mn}\), \noindent wobei \(z=e^{i\theta}\), \(m\), \(n= 0, 1, 2, \ldots\). Die Beziehung zu der im ersten Teil behandelten Minimumaufgabe ergibt sich aus folgendem Satze: Es ist \[ \frac 1{\mu_n(\alpha)}=|\varphi_0(\alpha)|^2 +|\varphi_1(\alpha)|^2+ \cdots + |\varphi_n(\alpha)|^2, \] und das Minimum wird erreicht, wenn \[ x_0+x_1z+ \cdots + x_nz^n=\frac{s_n(\alpha,z)}{s_n(\alpha,\alpha)} \] ist, wobei \(s_n(\alpha, z) = \sum\limits_{\nu=0}^n \overline{\varphi_\nu(z)}\varphi_\nu(z)\) gesetzt worden ist. Auf Grund dieser Minimumeigenschaft schließt man leicht, daß sämtliche Nullstellen von \(\varphi_n(z)\) im Innern des Einheitskreises liegen. Dasselbe gilt für \(s_n(\alpha,z)\), wenn \(|\alpha|> 1\), ferner für \(s_n\left(\alpha,\dfrac 1z\right)\), wenn \(|\alpha|<1\). Die Nullstellen von \(s_n(\alpha,z)\) sind alle vom Betrage 1, wenn \(|\alpha|=1\) ist. Es ergeben sich ferner aus derselben Quelle folgende Konvergenzsätze: Ist \(\log f(\theta)\) \((L)\) integrabel, dann konvergiert \(s_n(\alpha,z)\) für \(n\to \infty\) gegen \[ \frac 1{1-\overline \alpha z}\frac 1{\overline {D(\alpha)}}\frac 1{D(z)}, \] vorausgesetzt, daß \(|\alpha| < 1\), \(|z|< 1\). Hierbei ist \(D(z)\) eine für \(|z|< 1\) reguläre, von \(0\) verschiedene analytische Funktion, die man aus \(f(\theta)\) auf einfache Weise gewinnt. Hieraus folgt eine für \(\varphi_n(z)\) außerhalb des Einheitskreises geltende asymptotische Formel. (Vgl. das folgende Referat.) Jede im abgeschlossenen Einheitskreis reguläre Funktion läßt sich ferner nach den \(\varphi_n(z)\) entwickeln. Zum Schluß werden einige Beispiele durchgerechnet. Für den Fall, wo \(\dfrac 1{f(\theta)}\) ein trigonometrisches Polynom ist, lassen sich z. B. die \(\varphi_n(z)\) (wenigstens, wenn \(n\) den Grad des Polynoms übertrifft) explizite angeben. (IV 7.)
scientific article; zbMATH DE number 2601418